Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65222 / 44698
↖ ↑ ↗
← N 49.564415°
W  0.862427°		 ← 198.10 m → N 49.564415°
W  0.859680°		 →
↑
198.14 m
↓
↑
198.14 m
↓
N 49.562633°
W  0.862427°		 ← 198.10 m →
39 251 m²		 N 49.562633°
W  0.859680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497608184814453 y=0.341022491455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497608184814453 × 217)
    floor (0.497608184814453 × 131072)
    floor (65222.5)     		tx = 65222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341022491455078 × 217)
    floor (0.341022491455078 × 131072)
    floor (44698.5)     		ty = 44698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65222 / 44698 ti = "17/65222/44698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65222/44698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65222 ÷ 217
    65222 ÷ 131072     		x = 0.497604370117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44698 ÷ 217
    44698 ÷ 131072     		y = 0.341018676757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497604370117188 × 2 - 1) × π
    -0.004791259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01505219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341018676757812 × 2 - 1) × π
    0.317962646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.99890911428273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01505219} λ = -0.01505219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99890911428273))-π/2
    2×atan(2.71531811046959)-π/2
    2×1.21792928159418-π/2
    2.43585856318836-1.57079632675     		φ = 0.86506224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01505219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.862427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86506224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.564415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65222 KachelY 44698 -0.01505219 0.86506224 -0.862427 49.564415
    Oben rechts KachelX + 1 65223 KachelY 44698 -0.01500425 0.86506224 -0.859680 49.564415
    Unten links KachelX 65222 KachelY + 1 44699 -0.01505219 0.86503114 -0.862427 49.562633
    Unten rechts KachelX + 1 65223 KachelY + 1 44699 -0.01500425 0.86503114 -0.859680 49.562633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86506224-0.86503114) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dl = 198.138099999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86506224-0.86503114) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dr = 198.138099999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01505219--0.01500425) × cos(0.86506224) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.648592743861046 × 6371000     		do = 198.09691875239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01505219--0.01500425) × cos(0.86503114) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.648616414865582 × 6371000     		du = 198.104148486467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86506224)-sin(0.86503114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648592743861046-0.648616414865582)×R²
    abs(-0.01500425--0.01505219)×2.36710045358191e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.36710045358191e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.36710045358191e-05×40589641000000     		ar = 39251.2633435511m²