Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65220 / 45748
↖ ↑ ↗
← N 47.657988°
W  0.867920°		 ← 205.72 m → N 47.657988°
W  0.865173°		 →
↑
205.72 m
↓
↑
205.72 m
↓
N 47.656138°
W  0.867920°		 ← 205.73 m →
42 322 m²		 N 47.656138°
W  0.865173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497592926025391 y=0.349033355712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497592926025391 × 217)
    floor (0.497592926025391 × 131072)
    floor (65220.5)     		tx = 65220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349033355712891 × 217)
    floor (0.349033355712891 × 131072)
    floor (45748.5)     		ty = 45748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65220 / 45748 ti = "17/65220/45748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65220/45748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65220 ÷ 217
    65220 ÷ 131072     		x = 0.497589111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45748 ÷ 217
    45748 ÷ 131072     		y = 0.349029541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497589111328125 × 2 - 1) × π
    -0.00482177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01514806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349029541015625 × 2 - 1) × π
    0.30194091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.948575369681671
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01514806} λ = -0.01514806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.948575369681671))-π/2
    2×atan(2.58202860163656)-π/2
    2×1.20129256602281-π/2
    2.40258513204563-1.57079632675     		φ = 0.83178881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01514806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.867920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83178881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.657988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65220 KachelY 45748 -0.01514806 0.83178881 -0.867920 47.657988
    Oben rechts KachelX + 1 65221 KachelY 45748 -0.01510012 0.83178881 -0.865173 47.657988
    Unten links KachelX 65220 KachelY + 1 45749 -0.01514806 0.83175652 -0.867920 47.656138
    Unten rechts KachelX + 1 65221 KachelY + 1 45749 -0.01510012 0.83175652 -0.865173 47.656138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83178881-0.83175652) × R
    3.22900000000459e-05 × 6371000     		dl = 205.719590000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83178881-0.83175652) × R
    3.22900000000459e-05 × 6371000     		dr = 205.719590000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01514806--0.01510012) × cos(0.83178881) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.673554662011938 × 6371000     		do = 205.720931075445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01514806--0.01510012) × cos(0.83175652) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.673578528407905 × 6371000     		du = 205.728220487094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83178881)-sin(0.83175652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673554662011938-0.673578528407905)×R²
    abs(-0.01510012--0.01514806)×2.38663959660768e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38663959660768e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38663959660768e-05×40589641000000     		ar = 42321.5753864149m²