Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65219 / 45771
↖ ↑ ↗
← N 47.615422°
W  0.870667°		 ← 205.89 m → N 47.615422°
W  0.867920°		 →
↑
205.91 m
↓
↑
205.91 m
↓
N 47.613570°
W  0.870667°		 ← 205.90 m →
42 395 m²		 N 47.613570°
W  0.867920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497585296630859 y=0.349208831787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497585296630859 × 217)
    floor (0.497585296630859 × 131072)
    floor (65219.5)     		tx = 65219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349208831787109 × 217)
    floor (0.349208831787109 × 131072)
    floor (45771.5)     		ty = 45771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65219 / 45771 ti = "17/65219/45771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65219/45771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65219 ÷ 217
    65219 ÷ 131072     		x = 0.497581481933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45771 ÷ 217
    45771 ÷ 131072     		y = 0.349205017089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497581481933594 × 2 - 1) × π
    -0.0048370361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01519600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349205017089844 × 2 - 1) × π
    0.301589965820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.94747282099041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01519600} λ = -0.01519600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.94747282099041))-π/2
    2×atan(2.57918335817897)-π/2
    2×1.20092110131024-π/2
    2.40184220262049-1.57079632675     		φ = 0.83104588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01519600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.870667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83104588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.615422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65219 KachelY 45771 -0.01519600 0.83104588 -0.870667 47.615422
    Oben rechts KachelX + 1 65220 KachelY 45771 -0.01514806 0.83104588 -0.867920 47.615422
    Unten links KachelX 65219 KachelY + 1 45772 -0.01519600 0.83101356 -0.870667 47.613570
    Unten rechts KachelX + 1 65220 KachelY + 1 45772 -0.01514806 0.83101356 -0.867920 47.613570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83104588-0.83101356) × R
    3.23199999999746e-05 × 6371000     		dl = 205.910719999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83104588-0.83101356) × R
    3.23199999999746e-05 × 6371000     		dr = 205.910719999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01519600--0.01514806) × cos(0.83104588) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.674103603438111 × 6371000     		do = 205.888591916751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01519600--0.01514806) × cos(0.83101356) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.674127475827613 × 6371000     		du = 205.89588315898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83104588)-sin(0.83101356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674103603438111-0.674127475827613)×R²
    abs(-0.01514806--0.01519600)×2.38723895016335e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38723895016335e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38723895016335e-05×40589641000000     		ar = 42395.4188773597m²