Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65217 / 45631
↖ ↑ ↗
← N 47.873986°
W  0.876160°		 ← 204.87 m → N 47.873986°
W  0.873413°		 →
↑
204.89 m
↓
↑
204.89 m
↓
N 47.872144°
W  0.876160°		 ← 204.88 m →
41 977 m²		 N 47.872144°
W  0.873413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497570037841797 y=0.348140716552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497570037841797 × 217)
    floor (0.497570037841797 × 131072)
    floor (65217.5)     		tx = 65217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348140716552734 × 217)
    floor (0.348140716552734 × 131072)
    floor (45631.5)     		ty = 45631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65217 / 45631 ti = "17/65217/45631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65217/45631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65217 ÷ 217
    65217 ÷ 131072     		x = 0.497566223144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45631 ÷ 217
    45631 ÷ 131072     		y = 0.348136901855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497566223144531 × 2 - 1) × π
    -0.0048675537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01529187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348136901855469 × 2 - 1) × π
    0.303726196289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.954183986937218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01529187} λ = -0.01529187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.954183986937218))-π/2
    2×atan(2.5965508987406)-π/2
    2×1.20317750695651-π/2
    2.40635501391301-1.57079632675     		φ = 0.83555869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01529187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.876160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83555869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.873986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65217 KachelY 45631 -0.01529187 0.83555869 -0.876160 47.873986
    Oben rechts KachelX + 1 65218 KachelY 45631 -0.01524393 0.83555869 -0.873413 47.873986
    Unten links KachelX 65217 KachelY + 1 45632 -0.01529187 0.83552653 -0.876160 47.872144
    Unten rechts KachelX + 1 65218 KachelY + 1 45632 -0.01524393 0.83552653 -0.873413 47.872144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83555869-0.83552653) × R
    3.21600000000588e-05 × 6371000     		dl = 204.891360000375m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83555869-0.83552653) × R
    3.21600000000588e-05 × 6371000     		dr = 204.891360000375m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01529187--0.01524393) × cos(0.83555869) × R
    4.79400000000015e-05 × 0.670763422984393 × 6371000     		do = 204.868414829948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01529187--0.01524393) × cos(0.83552653) × R
    4.79400000000015e-05 × 0.670787274788976 × 6371000     		du = 204.875699785013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83555869)-sin(0.83552653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670763422984393-0.670787274788976)×R²
    abs(-0.01524393--0.01529187)×2.3851804583086e-05×R²
    4.79400000000015e-05×2.3851804583086e-05×6371000²
    4.79400000000015e-05×2.3851804583086e-05×40589641000000     		ar = 41976.514451288m²