Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65215 / 46273
↖ ↑ ↗
← N 46.677710°
W  0.881653°		 ← 209.51 m → N 46.677710°
W  0.878906°		 →
↑
209.54 m
↓
↑
209.54 m
↓
N 46.675826°
W  0.881653°		 ← 209.52 m →
43 902 m²		 N 46.675826°
W  0.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497554779052734 y=0.353038787841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497554779052734 × 217)
    floor (0.497554779052734 × 131072)
    floor (65215.5)     		tx = 65215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353038787841797 × 217)
    floor (0.353038787841797 × 131072)
    floor (46273.5)     		ty = 46273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65215 / 46273 ti = "17/65215/46273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65215/46273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65215 ÷ 217
    65215 ÷ 131072     		x = 0.497550964355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46273 ÷ 217
    46273 ÷ 131072     		y = 0.353034973144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497550964355469 × 2 - 1) × π
    -0.0048980712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01538774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353034973144531 × 2 - 1) × π
    0.293930053710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.923408497381142
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01538774} λ = -0.01538774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.923408497381142))-π/2
    2×atan(2.51785789251931)-π/2
    2×1.19273802734806-π/2
    2.38547605469613-1.57079632675     		φ = 0.81467973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01538774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.881653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81467973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.677710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65215 KachelY 46273 -0.01538774 0.81467973 -0.881653 46.677710
    Oben rechts KachelX + 1 65216 KachelY 46273 -0.01533981 0.81467973 -0.878906 46.677710
    Unten links KachelX 65215 KachelY + 1 46274 -0.01538774 0.81464684 -0.881653 46.675826
    Unten rechts KachelX + 1 65216 KachelY + 1 46274 -0.01533981 0.81464684 -0.878906 46.675826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81467973-0.81464684) × R
    3.28900000000631e-05 × 6371000     		dl = 209.542190000402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81467973-0.81464684) × R
    3.28900000000631e-05 × 6371000     		dr = 209.542190000402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01538774--0.01533981) × cos(0.81467973) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.686101426954471 × 6371000     		do = 209.509324520713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01538774--0.01533981) × cos(0.81464684) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.686125354252363 × 6371000     		du = 209.51663100897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81467973)-sin(0.81464684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686101426954471-0.686125354252363)×R²
    abs(-0.01533981--0.01538774)×2.39272978921345e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.39272978921345e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.39272978921345e-05×40589641000000     		ar = 43901.8081982396m²