Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65215 / 45633
↖ ↑ ↗
← N 47.870302°
W  0.881653°		 ← 204.84 m → N 47.870302°
W  0.878906°		 →
↑
204.89 m
↓
↑
204.89 m
↓
N 47.868459°
W  0.881653°		 ← 204.85 m →
41 971 m²		 N 47.868459°
W  0.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497554779052734 y=0.348155975341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497554779052734 × 217)
    floor (0.497554779052734 × 131072)
    floor (65215.5)     		tx = 65215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348155975341797 × 217)
    floor (0.348155975341797 × 131072)
    floor (45633.5)     		ty = 45633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65215 / 45633 ti = "17/65215/45633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65215/45633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65215 ÷ 217
    65215 ÷ 131072     		x = 0.497550964355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45633 ÷ 217
    45633 ÷ 131072     		y = 0.348152160644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497550964355469 × 2 - 1) × π
    -0.0048980712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01538774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348152160644531 × 2 - 1) × π
    0.303695678710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.954088113137978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01538774} λ = -0.01538774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.954088113137978))-π/2
    2×atan(2.59630196947411)-π/2
    2×1.20314535149433-π/2
    2.40629070298865-1.57079632675     		φ = 0.83549438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01538774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.881653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83549438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.870302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65215 KachelY 45633 -0.01538774 0.83549438 -0.881653 47.870302
    Oben rechts KachelX + 1 65216 KachelY 45633 -0.01533981 0.83549438 -0.878906 47.870302
    Unten links KachelX 65215 KachelY + 1 45634 -0.01538774 0.83546222 -0.881653 47.868459
    Unten rechts KachelX + 1 65216 KachelY + 1 45634 -0.01533981 0.83546222 -0.878906 47.868459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83549438-0.83546222) × R
    3.21599999999478e-05 × 6371000     		dl = 204.891359999667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83549438-0.83546222) × R
    3.21599999999478e-05 × 6371000     		dr = 204.891359999667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01538774--0.01533981) × cos(0.83549438) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.670811118483504 × 6371000     		do = 204.840244886693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01538774--0.01533981) × cos(0.83546222) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.670834968900734 × 6371000     		du = 204.847527898514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83549438)-sin(0.83546222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670811118483504-0.670834968900734)×R²
    abs(-0.01533981--0.01538774)×2.38504172297427e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.38504172297427e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.38504172297427e-05×40589641000000     		ar = 41970.7424741891m²