Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65213 / 45756
↖ ↑ ↗
← N 47.643186°
W  0.887146°		 ← 205.78 m → N 47.643186°
W  0.884399°		 →
↑
205.72 m
↓
↑
205.72 m
↓
N 47.641336°
W  0.887146°		 ← 205.79 m →
42 334 m²		 N 47.641336°
W  0.884399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497539520263672 y=0.349094390869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497539520263672 × 217)
    floor (0.497539520263672 × 131072)
    floor (65213.5)     		tx = 65213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349094390869141 × 217)
    floor (0.349094390869141 × 131072)
    floor (45756.5)     		ty = 45756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65213 / 45756 ti = "17/65213/45756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65213/45756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65213 ÷ 217
    65213 ÷ 131072     		x = 0.497535705566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45756 ÷ 217
    45756 ÷ 131072     		y = 0.349090576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497535705566406 × 2 - 1) × π
    -0.0049285888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01548362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349090576171875 × 2 - 1) × π
    0.30181884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.948191874484711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01548362} λ = -0.01548362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.948191874484711))-π/2
    2×atan(2.58103859591277)-π/2
    2×1.20116339522846-π/2
    2.40232679045692-1.57079632675     		φ = 0.83153046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01548362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.887146°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83153046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.643186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65213 KachelY 45756 -0.01548362 0.83153046 -0.887146 47.643186
    Oben rechts KachelX + 1 65214 KachelY 45756 -0.01543568 0.83153046 -0.884399 47.643186
    Unten links KachelX 65213 KachelY + 1 45757 -0.01548362 0.83149817 -0.887146 47.641336
    Unten rechts KachelX + 1 65214 KachelY + 1 45757 -0.01543568 0.83149817 -0.884399 47.641336
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83153046-0.83149817) × R
    3.22899999999349e-05 × 6371000     		dl = 205.719589999585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83153046-0.83149817) × R
    3.22899999999349e-05 × 6371000     		dr = 205.719589999585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01548362--0.01543568) × cos(0.83153046) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.673745595682701 × 6371000     		do = 205.779247133129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01548362--0.01543568) × cos(0.83149817) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.673769456458896 × 6371000     		du = 205.786534828355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83153046)-sin(0.83149817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673745595682701-0.673769456458896)×R²
    abs(-0.01543568--0.01548362)×2.38607761952059e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38607761952059e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38607761952059e-05×40589641000000     		ar = 42333.5719653371m²