Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65212 / 45635
↖ ↑ ↗
← N 47.866617°
W  0.889893°		 ← 204.90 m → N 47.866617°
W  0.887146°		 →
↑
204.89 m
↓
↑
204.89 m
↓
N 47.864774°
W  0.889893°		 ← 204.90 m →
41 982 m²		 N 47.864774°
W  0.887146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497531890869141 y=0.348171234130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497531890869141 × 217)
    floor (0.497531890869141 × 131072)
    floor (65212.5)     		tx = 65212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348171234130859 × 217)
    floor (0.348171234130859 × 131072)
    floor (45635.5)     		ty = 45635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65212 / 45635 ti = "17/65212/45635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65212/45635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65212 ÷ 217
    65212 ÷ 131072     		x = 0.497528076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45635 ÷ 217
    45635 ÷ 131072     		y = 0.348167419433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497528076171875 × 2 - 1) × π
    -0.00494384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01553156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348167419433594 × 2 - 1) × π
    0.303665161132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.953992239338738
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01553156} λ = -0.01553156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.953992239338738))-π/2
    2×atan(2.59605306407226)-π/2
    2×1.20311319374572-π/2
    2.40622638749145-1.57079632675     		φ = 0.83543006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01553156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.889893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83543006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.866617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65212 KachelY 45635 -0.01553156 0.83543006 -0.889893 47.866617
    Oben rechts KachelX + 1 65213 KachelY 45635 -0.01548362 0.83543006 -0.887146 47.866617
    Unten links KachelX 65212 KachelY + 1 45636 -0.01553156 0.83539790 -0.889893 47.864774
    Unten rechts KachelX + 1 65213 KachelY + 1 45636 -0.01548362 0.83539790 -0.887146 47.864774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83543006-0.83539790) × R
    3.21599999999478e-05 × 6371000     		dl = 204.891359999667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83543006-0.83539790) × R
    3.21599999999478e-05 × 6371000     		dr = 204.891359999667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01553156--0.01548362) × cos(0.83543006) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.670858818624143 × 6371000     		do = 204.897551113804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01553156--0.01548362) × cos(0.83539790) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.670882667653705 × 6371000     		du = 204.904835221306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83543006)-sin(0.83539790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670858818624143-0.670882667653705)×R²
    abs(-0.01548362--0.01553156)×2.38490295619842e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38490295619842e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38490295619842e-05×40589641000000     		ar = 41982.4841373241m²