Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65211 / 44261
↖ ↑ ↗
← N 50.336696°
W  0.892639°		 ← 194.90 m → N 50.336696°
W  0.889893°		 →
↑
194.95 m
↓
↑
194.95 m
↓
N 50.334943°
W  0.892639°		 ← 194.91 m →
37 998 m²		 N 50.334943°
W  0.889893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497524261474609 y=0.337688446044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497524261474609 × 217)
    floor (0.497524261474609 × 131072)
    floor (65211.5)     		tx = 65211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337688446044922 × 217)
    floor (0.337688446044922 × 131072)
    floor (44261.5)     		ty = 44261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65211 / 44261 ti = "17/65211/44261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65211/44261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65211 ÷ 217
    65211 ÷ 131072     		x = 0.497520446777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44261 ÷ 217
    44261 ÷ 131072     		y = 0.337684631347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497520446777344 × 2 - 1) × π
    -0.0049591064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01557949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337684631347656 × 2 - 1) × π
    0.324630737304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.01985753941669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01557949} λ = -0.01557949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01985753941669))-π/2
    2×atan(2.77279972116029)-π/2
    2×1.2246687019249-π/2
    2.44933740384981-1.57079632675     		φ = 0.87854108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01557949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.892639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87854108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.336696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65211 KachelY 44261 -0.01557949 0.87854108 -0.892639 50.336696
    Oben rechts KachelX + 1 65212 KachelY 44261 -0.01553156 0.87854108 -0.889893 50.336696
    Unten links KachelX 65211 KachelY + 1 44262 -0.01557949 0.87851048 -0.892639 50.334943
    Unten rechts KachelX + 1 65212 KachelY + 1 44262 -0.01553156 0.87851048 -0.889893 50.334943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87854108-0.87851048) × R
    3.05999999999917e-05 × 6371000     		dl = 194.952599999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87854108-0.87851048) × R
    3.05999999999917e-05 × 6371000     		dr = 194.952599999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01557949--0.01553156) × cos(0.87854108) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.638274912093615 × 6371000     		do = 194.904922854977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01557949--0.01553156) × cos(0.87851048) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.638298467935081 × 6371000     		du = 194.912115914546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87854108)-sin(0.87851048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638274912093615-0.638298467935081)×R²
    abs(-0.01553156--0.01557949)×2.35558414658499e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.35558414658499e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.35558414658499e-05×40589641000000     		ar = 37997.9226191439m²