Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65209 / 47896
↖ ↑ ↗
← N 43.532621°
W  0.898133°		 ← 221.43 m → N 43.532621°
W  0.895386°		 →
↑
221.46 m
↓
↑
221.46 m
↓
N 43.530629°
W  0.898133°		 ← 221.44 m →
49 037 m²		 N 43.530629°
W  0.895386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497509002685547 y=0.365421295166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497509002685547 × 217)
    floor (0.497509002685547 × 131072)
    floor (65209.5)     		tx = 65209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365421295166016 × 217)
    floor (0.365421295166016 × 131072)
    floor (47896.5)     		ty = 47896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65209 / 47896 ti = "17/65209/47896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65209/47896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65209 ÷ 217
    65209 ÷ 131072     		x = 0.497505187988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47896 ÷ 217
    47896 ÷ 131072     		y = 0.36541748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497505187988281 × 2 - 1) × π
    -0.0049896240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01567537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36541748046875 × 2 - 1) × π
    0.2691650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.845606909297791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01567537} λ = -0.01567537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.845606909297791))-π/2
    2×atan(2.32939111478009)-π/2
    2×1.16529194262308-π/2
    2.33058388524615-1.57079632675     		φ = 0.75978756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01567537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.898133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75978756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.532621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65209 KachelY 47896 -0.01567537 0.75978756 -0.898133 43.532621
    Oben rechts KachelX + 1 65210 KachelY 47896 -0.01562743 0.75978756 -0.895386 43.532621
    Unten links KachelX 65209 KachelY + 1 47897 -0.01567537 0.75975280 -0.898133 43.530629
    Unten rechts KachelX + 1 65210 KachelY + 1 47897 -0.01562743 0.75975280 -0.895386 43.530629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75978756-0.75975280) × R
    3.47600000000226e-05 × 6371000     		dl = 221.455960000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75978756-0.75975280) × R
    3.47600000000226e-05 × 6371000     		dr = 221.455960000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01567537--0.01562743) × cos(0.75978756) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.724982348855406 × 6371000     		do = 221.4282703861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01567537--0.01562743) × cos(0.75975280) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.725006289973821 × 6371000     		du = 221.435582619908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75978756)-sin(0.75975280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724982348855406-0.725006289973821)×R²
    abs(-0.01562743--0.01567537)×2.39411184147498e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39411184147498e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39411184147498e-05×40589641000000     		ar = 49037.4198633731m²