Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65207 / 45768
↖ ↑ ↗
← N 47.620975°
W  0.903625°		 ← 205.87 m → N 47.620975°
W  0.900879°		 →
↑
205.85 m
↓
↑
205.85 m
↓
N 47.619124°
W  0.903625°		 ← 205.87 m →
42 378 m²		 N 47.619124°
W  0.900879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497493743896484 y=0.349185943603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497493743896484 × 217)
    floor (0.497493743896484 × 131072)
    floor (65207.5)     		tx = 65207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349185943603516 × 217)
    floor (0.349185943603516 × 131072)
    floor (45768.5)     		ty = 45768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65207 / 45768 ti = "17/65207/45768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65207/45768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65207 ÷ 217
    65207 ÷ 131072     		x = 0.497489929199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45768 ÷ 217
    45768 ÷ 131072     		y = 0.34918212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497489929199219 × 2 - 1) × π
    -0.0050201416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01577124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34918212890625 × 2 - 1) × π
    0.3016357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.94761663168927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01577124} λ = -0.01577124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.94761663168927))-π/2
    2×atan(2.57955429901219)-π/2
    2×1.20096957039121-π/2
    2.40193914078243-1.57079632675     		φ = 0.83114281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01577124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.903625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83114281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.620975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65207 KachelY 45768 -0.01577124 0.83114281 -0.903625 47.620975
    Oben rechts KachelX + 1 65208 KachelY 45768 -0.01572330 0.83114281 -0.900879 47.620975
    Unten links KachelX 65207 KachelY + 1 45769 -0.01577124 0.83111050 -0.903625 47.619124
    Unten rechts KachelX + 1 65208 KachelY + 1 45769 -0.01572330 0.83111050 -0.900879 47.619124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83114281-0.83111050) × R
    3.23100000000354e-05 × 6371000     		dl = 205.847010000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83114281-0.83111050) × R
    3.23100000000354e-05 × 6371000     		dr = 205.847010000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01577124--0.01572330) × cos(0.83114281) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.67403200420583 × 6371000     		do = 205.866723668248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01577124--0.01572330) × cos(0.83111050) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.67405587132027 × 6371000     		du = 205.874013299337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83114281)-sin(0.83111050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67403200420583-0.67405587132027)×R²
    abs(-0.01572330--0.01577124)×2.38671144400238e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38671144400238e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38671144400238e-05×40589641000000     		ar = 42377.799803675m²