Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65205 / 48153
↖ ↑ ↗
← N 43.018705°
W  0.909118°		 ← 223.26 m → N 43.018705°
W  0.906372°		 →
↑
223.30 m
↓
↑
223.30 m
↓
N 43.016697°
W  0.909118°		 ← 223.27 m →
49 855 m²		 N 43.016697°
W  0.906372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497478485107422 y=0.367382049560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497478485107422 × 217)
    floor (0.497478485107422 × 131072)
    floor (65205.5)     		tx = 65205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367382049560547 × 217)
    floor (0.367382049560547 × 131072)
    floor (48153.5)     		ty = 48153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65205 / 48153 ti = "17/65205/48153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65205/48153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65205 ÷ 217
    65205 ÷ 131072     		x = 0.497474670410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48153 ÷ 217
    48153 ÷ 131072     		y = 0.367378234863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497474670410156 × 2 - 1) × π
    -0.0050506591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01586711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367378234863281 × 2 - 1) × π
    0.265243530273438 × 3.1415926535     		Φ = 0.833287126095436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01586711} λ = -0.01586711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.833287126095436))-π/2
    2×atan(2.30086957160882)-π/2
    2×1.16080718898723-π/2
    2.32161437797447-1.57079632675     		φ = 0.75081805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01586711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.909118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75081805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.018705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65205 KachelY 48153 -0.01586711 0.75081805 -0.909118 43.018705
    Oben rechts KachelX + 1 65206 KachelY 48153 -0.01581918 0.75081805 -0.906372 43.018705
    Unten links KachelX 65205 KachelY + 1 48154 -0.01586711 0.75078300 -0.909118 43.016697
    Unten rechts KachelX + 1 65206 KachelY + 1 48154 -0.01581918 0.75078300 -0.906372 43.016697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75081805-0.75078300) × R
    3.50500000000364e-05 × 6371000     		dl = 223.303550000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75081805-0.75078300) × R
    3.50500000000364e-05 × 6371000     		dr = 223.303550000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01586711--0.01581918) × cos(0.75081805) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.731131009523172 × 6371000     		do = 223.259649263953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01586711--0.01581918) × cos(0.75078300) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.731154921484072 × 6371000     		du = 223.266951068874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75081805)-sin(0.75078300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731131009523172-0.731154921484072)×R²
    abs(-0.01581918--0.01586711)×2.39119609000138e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39119609000138e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39119609000138e-05×40589641000000     		ar = 49855.4875171746m²