Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65204 / 45788
↖ ↑ ↗
← N 47.583937°
W  0.911865°		 ← 206.01 m → N 47.583937°
W  0.909118°		 →
↑
206.04 m
↓
↑
206.04 m
↓
N 47.582084°
W  0.911865°		 ← 206.02 m →
42 447 m²		 N 47.582084°
W  0.909118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497470855712891 y=0.349338531494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497470855712891 × 217)
    floor (0.497470855712891 × 131072)
    floor (65204.5)     		tx = 65204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349338531494141 × 217)
    floor (0.349338531494141 × 131072)
    floor (45788.5)     		ty = 45788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65204 / 45788 ti = "17/65204/45788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65204/45788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65204 ÷ 217
    65204 ÷ 131072     		x = 0.497467041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45788 ÷ 217
    45788 ÷ 131072     		y = 0.349334716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497467041015625 × 2 - 1) × π
    -0.00506591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01591505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349334716796875 × 2 - 1) × π
    0.30133056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.946657893696869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01591505} λ = -0.01591505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.946657893696869))-π/2
    2×atan(2.57708236745896)-π/2
    2×1.20064634592607-π/2
    2.40129269185213-1.57079632675     		φ = 0.83049637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01591505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.911865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83049637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.583937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65204 KachelY 45788 -0.01591505 0.83049637 -0.911865 47.583937
    Oben rechts KachelX + 1 65205 KachelY 45788 -0.01586711 0.83049637 -0.909118 47.583937
    Unten links KachelX 65204 KachelY + 1 45789 -0.01591505 0.83046403 -0.911865 47.582084
    Unten rechts KachelX + 1 65205 KachelY + 1 45789 -0.01586711 0.83046403 -0.909118 47.582084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83049637-0.83046403) × R
    3.23399999999641e-05 × 6371000     		dl = 206.038139999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83049637-0.83046403) × R
    3.23399999999641e-05 × 6371000     		dr = 206.038139999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01591505--0.01586711) × cos(0.83049637) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.674509389952615 × 6371000     		do = 206.012529563225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01591505--0.01586711) × cos(0.83046403) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.674533265131 × 6371000     		du = 206.019821657251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83049637)-sin(0.83046403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674509389952615-0.674533265131)×R²
    abs(-0.01586711--0.01591505)×2.3875178385202e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.3875178385202e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.3875178385202e-05×40589641000000     		ar = 42447.1896364708m²