Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65203 / 48178
↖ ↑ ↗
← N 42.968482°
W  0.914612°		 ← 223.49 m → N 42.968482°
W  0.911865°		 →
↑
223.49 m
↓
↑
223.49 m
↓
N 42.966472°
W  0.914612°		 ← 223.50 m →
49 949 m²		 N 42.966472°
W  0.911865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497463226318359 y=0.367572784423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497463226318359 × 217)
    floor (0.497463226318359 × 131072)
    floor (65203.5)     		tx = 65203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367572784423828 × 217)
    floor (0.367572784423828 × 131072)
    floor (48178.5)     		ty = 48178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65203 / 48178 ti = "17/65203/48178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65203/48178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65203 ÷ 217
    65203 ÷ 131072     		x = 0.497459411621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48178 ÷ 217
    48178 ÷ 131072     		y = 0.367568969726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497459411621094 × 2 - 1) × π
    -0.0050811767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01596299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367568969726562 × 2 - 1) × π
    0.264862060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.832088703604935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01596299} λ = -0.01596299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.832088703604935))-π/2
    2×atan(2.29811380938003)-π/2
    2×1.16036890797447-π/2
    2.32073781594895-1.57079632675     		φ = 0.74994149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01596299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.914612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74994149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.968482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65203 KachelY 48178 -0.01596299 0.74994149 -0.914612 42.968482
    Oben rechts KachelX + 1 65204 KachelY 48178 -0.01591505 0.74994149 -0.911865 42.968482
    Unten links KachelX 65203 KachelY + 1 48179 -0.01596299 0.74990641 -0.914612 42.966472
    Unten rechts KachelX + 1 65204 KachelY + 1 48179 -0.01591505 0.74990641 -0.911865 42.966472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74994149-0.74990641) × R
    3.50799999999651e-05 × 6371000     		dl = 223.494679999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74994149-0.74990641) × R
    3.50799999999651e-05 × 6371000     		dr = 223.494679999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01596299--0.01591505) × cos(0.74994149) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.731728750305208 × 6371000     		do = 223.488795041242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01596299--0.01591505) × cos(0.74990641) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.731752660240815 × 6371000     		du = 223.496097751018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74994149)-sin(0.74990641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731728750305208-0.731752660240815)×R²
    abs(-0.01591505--0.01596299)×2.39099356067474e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39099356067474e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39099356067474e-05×40589641000000     		ar = 49949.3727947386m²