Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65203 / 44049
↖ ↑ ↗
← N 50.706895°
W  0.914612°		 ← 193.42 m → N 50.706895°
W  0.911865°		 →
↑
193.42 m
↓
↑
193.42 m
↓
N 50.705155°
W  0.914612°		 ← 193.43 m →
37 413 m²		 N 50.705155°
W  0.911865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497463226318359 y=0.336071014404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497463226318359 × 217)
    floor (0.497463226318359 × 131072)
    floor (65203.5)     		tx = 65203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336071014404297 × 217)
    floor (0.336071014404297 × 131072)
    floor (44049.5)     		ty = 44049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65203 / 44049 ti = "17/65203/44049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65203/44049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65203 ÷ 217
    65203 ÷ 131072     		x = 0.497459411621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44049 ÷ 217
    44049 ÷ 131072     		y = 0.336067199707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497459411621094 × 2 - 1) × π
    -0.0050811767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01596299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336067199707031 × 2 - 1) × π
    0.327865600585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.03002016213615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01596299} λ = -0.01596299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03002016213615))-π/2
    2×atan(2.80112231073913)-π/2
    2×1.22789929948646-π/2
    2.45579859897292-1.57079632675     		φ = 0.88500227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01596299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.914612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88500227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.706895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65203 KachelY 44049 -0.01596299 0.88500227 -0.914612 50.706895
    Oben rechts KachelX + 1 65204 KachelY 44049 -0.01591505 0.88500227 -0.911865 50.706895
    Unten links KachelX 65203 KachelY + 1 44050 -0.01596299 0.88497191 -0.914612 50.705155
    Unten rechts KachelX + 1 65204 KachelY + 1 44050 -0.01591505 0.88497191 -0.911865 50.705155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88500227-0.88497191) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dl = 193.423560000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88500227-0.88497191) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dr = 193.423560000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01596299--0.01591505) × cos(0.88500227) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.633287744699763 × 6371000     		do = 193.422378057855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01596299--0.01591505) × cos(0.88497191) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.633311240510553 × 6371000     		du = 193.429554283253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88500227)-sin(0.88497191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633287744699763-0.633311240510553)×R²
    abs(-0.01591505--0.01596299)×2.34958107901972e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.34958107901972e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.34958107901972e-05×40589641000000     		ar = 37413.1389761626m²