Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65202 / 44821
↖ ↑ ↗
← N 49.344809°
W  0.917358°		 ← 198.94 m → N 49.344809°
W  0.914612°		 →
↑
198.97 m
↓
↑
198.97 m
↓
N 49.343020°
W  0.917358°		 ← 198.95 m →
39 584 m²		 N 49.343020°
W  0.914612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497455596923828 y=0.341960906982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497455596923828 × 217)
    floor (0.497455596923828 × 131072)
    floor (65202.5)     		tx = 65202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341960906982422 × 217)
    floor (0.341960906982422 × 131072)
    floor (44821.5)     		ty = 44821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65202 / 44821 ti = "17/65202/44821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65202/44821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65202 ÷ 217
    65202 ÷ 131072     		x = 0.497451782226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44821 ÷ 217
    44821 ÷ 131072     		y = 0.341957092285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497451782226562 × 2 - 1) × π
    -0.005096435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01601092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341957092285156 × 2 - 1) × π
    0.316085815429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.993012875629463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01601092} λ = -0.01601092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.993012875629463))-π/2
    2×atan(2.69935505411279)-π/2
    2×1.21601286038247-π/2
    2.43202572076494-1.57079632675     		φ = 0.86122939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01601092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.917358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86122939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.344809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65202 KachelY 44821 -0.01601092 0.86122939 -0.917358 49.344809
    Oben rechts KachelX + 1 65203 KachelY 44821 -0.01596299 0.86122939 -0.914612 49.344809
    Unten links KachelX 65202 KachelY + 1 44822 -0.01601092 0.86119816 -0.917358 49.343020
    Unten rechts KachelX + 1 65203 KachelY + 1 44822 -0.01596299 0.86119816 -0.914612 49.343020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86122939-0.86119816) × R
    3.12299999999377e-05 × 6371000     		dl = 198.966329999603m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86122939-0.86119816) × R
    3.12299999999377e-05 × 6371000     		dr = 198.966329999603m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01601092--0.01596299) × cos(0.86122939) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.651505291283487 × 6371000     		do = 198.944978302073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01601092--0.01596299) × cos(0.86119816) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.651528983420706 × 6371000     		du = 198.95221298119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86122939)-sin(0.86119816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651505291283487-0.651528983420706)×R²
    abs(-0.01596299--0.01601092)×2.3692137218867e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3692137218867e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3692137218867e-05×40589641000000     		ar = 39584.0719366457m²