Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65201 / 48177
↖ ↑ ↗
← N 42.970492°
W  0.920105°		 ← 223.48 m → N 42.970492°
W  0.917358°		 →
↑
223.49 m
↓
↑
223.49 m
↓
N 42.968482°
W  0.920105°		 ← 223.49 m →
49 948 m²		 N 42.968482°
W  0.917358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497447967529297 y=0.367565155029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497447967529297 × 217)
    floor (0.497447967529297 × 131072)
    floor (65201.5)     		tx = 65201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367565155029297 × 217)
    floor (0.367565155029297 × 131072)
    floor (48177.5)     		ty = 48177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65201 / 48177 ti = "17/65201/48177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65201/48177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65201 ÷ 217
    65201 ÷ 131072     		x = 0.497444152832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48177 ÷ 217
    48177 ÷ 131072     		y = 0.367561340332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497444152832031 × 2 - 1) × π
    -0.0051116943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01605886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367561340332031 × 2 - 1) × π
    0.264877319335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.832136640504555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01605886} λ = -0.01605886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.832136640504555))-π/2
    2×atan(2.29822397647154)-π/2
    2×1.16038644609179-π/2
    2.32077289218359-1.57079632675     		φ = 0.74997657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01605886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.920105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74997657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.970492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65201 KachelY 48177 -0.01605886 0.74997657 -0.920105 42.970492
    Oben rechts KachelX + 1 65202 KachelY 48177 -0.01601092 0.74997657 -0.917358 42.970492
    Unten links KachelX 65201 KachelY + 1 48178 -0.01605886 0.74994149 -0.920105 42.968482
    Unten rechts KachelX + 1 65202 KachelY + 1 48178 -0.01601092 0.74994149 -0.917358 42.968482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74997657-0.74994149) × R
    3.50799999999651e-05 × 6371000     		dl = 223.494679999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74997657-0.74994149) × R
    3.50799999999651e-05 × 6371000     		dr = 223.494679999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01605886--0.01601092) × cos(0.74997657) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.731704839469131 × 6371000     		do = 223.48149205644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01605886--0.01601092) × cos(0.74994149) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.731728750305208 × 6371000     		du = 223.488795041242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74997657)-sin(0.74994149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731704839469131-0.731728750305208)×R²
    abs(-0.01601092--0.01605886)×2.39108360768903e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39108360768903e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39108360768903e-05×40589641000000     		ar = 49947.7406473464m²