Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65201 / 48173
↖ ↑ ↗
← N 42.978530°
W  0.920105°		 ← 223.45 m → N 42.978530°
W  0.917358°		 →
↑
223.43 m
↓
↑
223.43 m
↓
N 42.976521°
W  0.920105°		 ← 223.46 m →
49 927 m²		 N 42.976521°
W  0.917358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497447967529297 y=0.367534637451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497447967529297 × 217)
    floor (0.497447967529297 × 131072)
    floor (65201.5)     		tx = 65201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367534637451172 × 217)
    floor (0.367534637451172 × 131072)
    floor (48173.5)     		ty = 48173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65201 / 48173 ti = "17/65201/48173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65201/48173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65201 ÷ 217
    65201 ÷ 131072     		x = 0.497444152832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48173 ÷ 217
    48173 ÷ 131072     		y = 0.367530822753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497444152832031 × 2 - 1) × π
    -0.0051116943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01605886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367530822753906 × 2 - 1) × π
    0.264938354492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.832328388103035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01605886} λ = -0.01605886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.832328388103035))-π/2
    2×atan(2.29866469765206)-π/2
    2×1.16045659283058-π/2
    2.32091318566116-1.57079632675     		φ = 0.75011686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01605886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.920105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75011686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.978530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65201 KachelY 48173 -0.01605886 0.75011686 -0.920105 42.978530
    Oben rechts KachelX + 1 65202 KachelY 48173 -0.01601092 0.75011686 -0.917358 42.978530
    Unten links KachelX 65201 KachelY + 1 48174 -0.01605886 0.75008179 -0.920105 42.976521
    Unten rechts KachelX + 1 65202 KachelY + 1 48174 -0.01601092 0.75008179 -0.917358 42.976521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75011686-0.75008179) × R
    3.50700000000259e-05 × 6371000     		dl = 223.430970000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75011686-0.75008179) × R
    3.50700000000259e-05 × 6371000     		dr = 223.430970000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01605886--0.01601092) × cos(0.75011686) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.731609207572439 × 6371000     		do = 223.452283613625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01605886--0.01601092) × cos(0.75008179) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.731633115192346 × 6371000     		du = 223.459585616127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75011686)-sin(0.75008179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731609207572439-0.731633115192346)×R²
    abs(-0.01601092--0.01605886)×2.39076199070043e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39076199070043e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39076199070043e-05×40589641000000     		ar = 49926.9762284351m²