Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65200 / 48176
↖ ↑ ↗
← N 42.972502°
W  0.922852°		 ← 223.47 m → N 42.972502°
W  0.920105°		 →
↑
223.43 m
↓
↑
223.43 m
↓
N 42.970492°
W  0.922852°		 ← 223.48 m →
49 932 m²		 N 42.970492°
W  0.920105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497440338134766 y=0.367557525634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497440338134766 × 217)
    floor (0.497440338134766 × 131072)
    floor (65200.5)     		tx = 65200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367557525634766 × 217)
    floor (0.367557525634766 × 131072)
    floor (48176.5)     		ty = 48176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65200 / 48176 ti = "17/65200/48176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65200/48176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65200 ÷ 217
    65200 ÷ 131072     		x = 0.4974365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48176 ÷ 217
    48176 ÷ 131072     		y = 0.3675537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4974365234375 × 2 - 1) × π
    -0.005126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01610680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3675537109375 × 2 - 1) × π
    0.264892578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.832184577404175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01610680} λ = -0.01610680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.832184577404175))-π/2
    2×atan(2.29833414884424)-π/2
    2×1.16040398363607-π/2
    2.32080796727213-1.57079632675     		φ = 0.75001164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01610680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.922852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75001164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.972502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65200 KachelY 48176 -0.01610680 0.75001164 -0.922852 42.972502
    Oben rechts KachelX + 1 65201 KachelY 48176 -0.01605886 0.75001164 -0.920105 42.972502
    Unten links KachelX 65200 KachelY + 1 48177 -0.01610680 0.74997657 -0.922852 42.970492
    Unten rechts KachelX + 1 65201 KachelY + 1 48177 -0.01605886 0.74997657 -0.920105 42.970492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75001164-0.74997657) × R
    3.50700000000259e-05 × 6371000     		dl = 223.430970000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75001164-0.74997657) × R
    3.50700000000259e-05 × 6371000     		dr = 223.430970000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01610680--0.01605886) × cos(0.75001164) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.731680934549086 × 6371000     		do = 223.474190878545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01610680--0.01605886) × cos(0.74997657) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.731704839469131 × 6371000     		du = 223.48149205644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75001164)-sin(0.74997657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731680934549086-0.731704839469131)×R²
    abs(-0.01605886--0.01610680)×2.39049200446706e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39049200446706e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39049200446706e-05×40589641000000     		ar = 49931.8708976151m²