Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65191 / 48169
↖ ↑ ↗
← N 42.986567°
W  0.947571°		 ← 223.42 m → N 42.986567°
W  0.944824°		 →
↑
223.37 m
↓
↑
223.37 m
↓
N 42.984558°
W  0.947571°		 ← 223.43 m →
49 906 m²		 N 42.984558°
W  0.944824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497371673583984 y=0.367504119873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497371673583984 × 217)
    floor (0.497371673583984 × 131072)
    floor (65191.5)     		tx = 65191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367504119873047 × 217)
    floor (0.367504119873047 × 131072)
    floor (48169.5)     		ty = 48169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65191 / 48169 ti = "17/65191/48169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65191/48169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65191 ÷ 217
    65191 ÷ 131072     		x = 0.497367858886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48169 ÷ 217
    48169 ÷ 131072     		y = 0.367500305175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497367858886719 × 2 - 1) × π
    -0.0052642822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01653823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367500305175781 × 2 - 1) × π
    0.264999389648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.832520135701515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01653823} λ = -0.01653823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.832520135701515))-π/2
    2×atan(2.29910550334791)-π/2
    2×1.16052673040046-π/2
    2.32105346080092-1.57079632675     		φ = 0.75025713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01653823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.947571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75025713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.986567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65191 KachelY 48169 -0.01653823 0.75025713 -0.947571 42.986567
    Oben rechts KachelX + 1 65192 KachelY 48169 -0.01649029 0.75025713 -0.944824 42.986567
    Unten links KachelX 65191 KachelY + 1 48170 -0.01653823 0.75022207 -0.947571 42.984558
    Unten rechts KachelX + 1 65192 KachelY + 1 48170 -0.01649029 0.75022207 -0.944824 42.984558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75025713-0.75022207) × R
    3.50600000000867e-05 × 6371000     		dl = 223.367260000552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75025713-0.75022207) × R
    3.50600000000867e-05 × 6371000     		dr = 223.367260000552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01653823--0.01649029) × cos(0.75025713) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.731513574913277 × 6371000     		do = 223.423074937932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01653823--0.01649029) × cos(0.75022207) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.731537479313977 × 6371000     		du = 223.430375957205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75025713)-sin(0.75022207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731513574913277-0.731537479313977)×R²
    abs(-0.01649029--0.01653823)×2.39044007007694e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39044007007694e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39044007007694e-05×40589641000000     		ar = 49906.2154793049m²