Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65185 / 46241
↖ ↑ ↗
← N 46.737978°
W  0.964050°		 ← 209.32 m → N 46.737978°
W  0.961303°		 →
↑
209.35 m
↓
↑
209.35 m
↓
N 46.736096°
W  0.964050°		 ← 209.33 m →
43 822 m²		 N 46.736096°
W  0.961303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497325897216797 y=0.352794647216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497325897216797 × 217)
    floor (0.497325897216797 × 131072)
    floor (65185.5)     		tx = 65185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352794647216797 × 217)
    floor (0.352794647216797 × 131072)
    floor (46241.5)     		ty = 46241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65185 / 46241 ti = "17/65185/46241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65185/46241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65185 ÷ 217
    65185 ÷ 131072     		x = 0.497322082519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46241 ÷ 217
    46241 ÷ 131072     		y = 0.352790832519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497322082519531 × 2 - 1) × π
    -0.0053558349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01682585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352790832519531 × 2 - 1) × π
    0.294418334960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.924942478168983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01682585} λ = -0.01682585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.924942478168983))-π/2
    2×atan(2.52172320205028)-π/2
    2×1.19326396693226-π/2
    2.38652793386453-1.57079632675     		φ = 0.81573161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01682585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.964050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81573161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.737978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65185 KachelY 46241 -0.01682585 0.81573161 -0.964050 46.737978
    Oben rechts KachelX + 1 65186 KachelY 46241 -0.01677791 0.81573161 -0.961303 46.737978
    Unten links KachelX 65185 KachelY + 1 46242 -0.01682585 0.81569875 -0.964050 46.736096
    Unten rechts KachelX + 1 65186 KachelY + 1 46242 -0.01677791 0.81569875 -0.961303 46.736096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81573161-0.81569875) × R
    3.28600000000234e-05 × 6371000     		dl = 209.351060000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81573161-0.81569875) × R
    3.28600000000234e-05 × 6371000     		dr = 209.351060000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01682585--0.01677791) × cos(0.81573161) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.685335798622426 × 6371000     		do = 209.319193442745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01682585--0.01677791) × cos(0.81569875) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.685359727797945 × 6371000     		du = 209.326502028885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81573161)-sin(0.81569875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685335798622426-0.685359727797945)×R²
    abs(-0.01677791--0.01682585)×2.39291755180782e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39291755180782e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39291755180782e-05×40589641000000     		ar = 43821.9600597842m²