Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65178 / 45710
↖ ↑ ↗
← N 47.728240°
W  0.983276°		 ← 205.44 m → N 47.728240°
W  0.980530°		 →
↑
205.46 m
↓
↑
205.46 m
↓
N 47.726392°
W  0.983276°		 ← 205.45 m →
42 212 m²		 N 47.726392°
W  0.980530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497272491455078 y=0.348743438720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497272491455078 × 217)
    floor (0.497272491455078 × 131072)
    floor (65178.5)     		tx = 65178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348743438720703 × 217)
    floor (0.348743438720703 × 131072)
    floor (45710.5)     		ty = 45710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65178 / 45710 ti = "17/65178/45710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65178/45710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65178 ÷ 217
    65178 ÷ 131072     		x = 0.497268676757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45710 ÷ 217
    45710 ÷ 131072     		y = 0.348739624023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497268676757812 × 2 - 1) × π
    -0.005462646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01716141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348739624023438 × 2 - 1) × π
    0.302520751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.950396971867233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01716141} λ = -0.01716141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.950396971867233))-π/2
    2×atan(2.58673631707107)-π/2
    2×1.20190562738454-π/2
    2.40381125476908-1.57079632675     		φ = 0.83301493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01716141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.983276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83301493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.728240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65178 KachelY 45710 -0.01716141 0.83301493 -0.983276 47.728240
    Oben rechts KachelX + 1 65179 KachelY 45710 -0.01711347 0.83301493 -0.980530 47.728240
    Unten links KachelX 65178 KachelY + 1 45711 -0.01716141 0.83298268 -0.983276 47.726392
    Unten rechts KachelX + 1 65179 KachelY + 1 45711 -0.01711347 0.83298268 -0.980530 47.726392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83301493-0.83298268) × R
    3.22500000000669e-05 × 6371000     		dl = 205.464750000427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83301493-0.83298268) × R
    3.22500000000669e-05 × 6371000     		dr = 205.464750000427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01716141--0.01711347) × cos(0.83301493) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.672647884771582 × 6371000     		do = 205.443977965794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01716141--0.01711347) × cos(0.83298268) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.672671748219416 × 6371000     		du = 205.451266477008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83301493)-sin(0.83298268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672647884771582-0.672671748219416)×R²
    abs(-0.01711347--0.01716141)×2.38634478334498e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38634478334498e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38634478334498e-05×40589641000000     		ar = 42212.2443416822m²