Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65176 / 45720
↖ ↑ ↗
← N 47.709761°
W  0.988769°		 ← 205.47 m → N 47.709761°
W  0.986023°		 →
↑
205.46 m
↓
↑
205.46 m
↓
N 47.707914°
W  0.988769°		 ← 205.48 m →
42 218 m²		 N 47.707914°
W  0.986023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497257232666016 y=0.348819732666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497257232666016 × 217)
    floor (0.497257232666016 × 131072)
    floor (65176.5)     		tx = 65176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348819732666016 × 217)
    floor (0.348819732666016 × 131072)
    floor (45720.5)     		ty = 45720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65176 / 45720 ti = "17/65176/45720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65176/45720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65176 ÷ 217
    65176 ÷ 131072     		x = 0.49725341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45720 ÷ 217
    45720 ÷ 131072     		y = 0.34881591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49725341796875 × 2 - 1) × π
    -0.0054931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01725728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34881591796875 × 2 - 1) × π
    0.3023681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.949917602871033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01725728} λ = -0.01725728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.949917602871033))-π/2
    2×atan(2.5854966130409)-π/2
    2×1.20174437551876-π/2
    2.40348875103752-1.57079632675     		φ = 0.83269242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01725728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.988769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83269242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.709761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65176 KachelY 45720 -0.01725728 0.83269242 -0.988769 47.709761
    Oben rechts KachelX + 1 65177 KachelY 45720 -0.01720935 0.83269242 -0.986023 47.709761
    Unten links KachelX 65176 KachelY + 1 45721 -0.01725728 0.83266017 -0.988769 47.707914
    Unten rechts KachelX + 1 65177 KachelY + 1 45721 -0.01720935 0.83266017 -0.986023 47.707914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83269242-0.83266017) × R
    3.22499999999559e-05 × 6371000     		dl = 205.464749999719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83269242-0.83266017) × R
    3.22499999999559e-05 × 6371000     		dr = 205.464749999719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01725728--0.01720935) × cos(0.83269242) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.672886495161467 × 6371000     		do = 205.473986122082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01725728--0.01720935) × cos(0.83266017) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.67291035161176 × 6371000     		du = 205.481270976173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83269242)-sin(0.83266017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672886495161467-0.67291035161176)×R²
    abs(-0.01720935--0.01725728)×2.38564502930139e-05×R²
    4.79299999999981e-05×2.38564502930139e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×2.38564502930139e-05×40589641000000     		ar = 42218.4095841051m²