Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65174 / 45706
↖ ↑ ↗
← N 47.735629°
W  0.994263°		 ← 205.41 m → N 47.735629°
W  0.991516°		 →
↑
205.40 m
↓
↑
205.40 m
↓
N 47.733782°
W  0.994263°		 ← 205.42 m →
42 193 m²		 N 47.733782°
W  0.991516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497241973876953 y=0.348712921142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497241973876953 × 217)
    floor (0.497241973876953 × 131072)
    floor (65174.5)     		tx = 65174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348712921142578 × 217)
    floor (0.348712921142578 × 131072)
    floor (45706.5)     		ty = 45706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65174 / 45706 ti = "17/65174/45706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65174/45706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65174 ÷ 217
    65174 ÷ 131072     		x = 0.497238159179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45706 ÷ 217
    45706 ÷ 131072     		y = 0.348709106445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497238159179688 × 2 - 1) × π
    -0.005523681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01735316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348709106445312 × 2 - 1) × π
    0.302581787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.950588719465714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01735316} λ = -0.01735316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.950588719465714))-π/2
    2×atan(2.58723236510426)-π/2
    2×1.20197011211792-π/2
    2.40394022423583-1.57079632675     		φ = 0.83314390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01735316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.994263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83314390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.735629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65174 KachelY 45706 -0.01735316 0.83314390 -0.994263 47.735629
    Oben rechts KachelX + 1 65175 KachelY 45706 -0.01730522 0.83314390 -0.991516 47.735629
    Unten links KachelX 65174 KachelY + 1 45707 -0.01735316 0.83311166 -0.994263 47.733782
    Unten rechts KachelX + 1 65175 KachelY + 1 45707 -0.01730522 0.83311166 -0.991516 47.733782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83314390-0.83311166) × R
    3.22400000000167e-05 × 6371000     		dl = 205.401040000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83314390-0.83311166) × R
    3.22400000000167e-05 × 6371000     		dr = 205.401040000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01735316--0.01730522) × cos(0.83314390) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.672552446186023 × 6371000     		do = 205.414828565175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01735316--0.01730522) × cos(0.83311166) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.672576305031162 × 6371000     		du = 205.422115670607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83314390)-sin(0.83311166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672552446186023-0.672576305031162)×R²
    abs(-0.01730522--0.01735316)×2.38588451394461e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38588451394461e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38588451394461e-05×40589641000000     		ar = 42193.1678120789m²