Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65173 / 45717
↖ ↑ ↗
← N 47.715306°
W  0.997009°		 ← 205.45 m → N 47.715306°
W  0.994263°		 →
↑
205.53 m
↓
↑
205.53 m
↓
N 47.713457°
W  0.997009°		 ← 205.46 m →
42 227 m²		 N 47.713457°
W  0.994263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497234344482422 y=0.348796844482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497234344482422 × 217)
    floor (0.497234344482422 × 131072)
    floor (65173.5)     		tx = 65173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348796844482422 × 217)
    floor (0.348796844482422 × 131072)
    floor (45717.5)     		ty = 45717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65173 / 45717 ti = "17/65173/45717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65173/45717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65173 ÷ 217
    65173 ÷ 131072     		x = 0.497230529785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45717 ÷ 217
    45717 ÷ 131072     		y = 0.348793029785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497230529785156 × 2 - 1) × π
    -0.0055389404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01740109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348793029785156 × 2 - 1) × π
    0.302413940429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.950061413569893
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01740109} λ = -0.01740109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.950061413569893))-π/2
    2×atan(2.585868461853)-π/2
    2×1.20179275708348-π/2
    2.40358551416696-1.57079632675     		φ = 0.83278919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01740109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.997009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83278919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.715306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65173 KachelY 45717 -0.01740109 0.83278919 -0.997009 47.715306
    Oben rechts KachelX + 1 65174 KachelY 45717 -0.01735316 0.83278919 -0.994263 47.715306
    Unten links KachelX 65173 KachelY + 1 45718 -0.01740109 0.83275693 -0.997009 47.713457
    Unten rechts KachelX + 1 65174 KachelY + 1 45718 -0.01735316 0.83275693 -0.994263 47.713457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83278919-0.83275693) × R
    3.22600000000062e-05 × 6371000     		dl = 205.528460000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83278919-0.83275693) × R
    3.22600000000062e-05 × 6371000     		dr = 205.528460000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01740109--0.01735316) × cos(0.83278919) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.672814906815406 × 6371000     		do = 205.45212575942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01740109--0.01735316) × cos(0.83275693) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.672838772763482 × 6371000     		du = 205.459413513772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83278919)-sin(0.83275693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672814906815406-0.672838772763482)×R²
    abs(-0.01735316--0.01740109)×2.38659480762404e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.38659480762404e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.38659480762404e-05×40589641000000     		ar = 42227.0079351836m²