Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65170 / 45709
↖ ↑ ↗
← N 47.730087°
W  1.005249°		 ← 205.44 m → N 47.730087°
W  1.002503°		 →
↑
205.40 m
↓
↑
205.40 m
↓
N 47.728240°
W  1.005249°		 ← 205.44 m →
42 198 m²		 N 47.728240°
W  1.002503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497211456298828 y=0.348735809326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497211456298828 × 217)
    floor (0.497211456298828 × 131072)
    floor (65170.5)     		tx = 65170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348735809326172 × 217)
    floor (0.348735809326172 × 131072)
    floor (45709.5)     		ty = 45709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65170 / 45709 ti = "17/65170/45709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65170/45709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65170 ÷ 217
    65170 ÷ 131072     		x = 0.497207641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45709 ÷ 217
    45709 ÷ 131072     		y = 0.348731994628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497207641601562 × 2 - 1) × π
    -0.005584716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01754491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348731994628906 × 2 - 1) × π
    0.302536010742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.950444908766853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01754491} λ = -0.01754491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.950444908766853))-π/2
    2×atan(2.58686032016238)-π/2
    2×1.2019217494257-π/2
    2.4038434988514-1.57079632675     		φ = 0.83304717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01754491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.005249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83304717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.730087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65170 KachelY 45709 -0.01754491 0.83304717 -1.005249 47.730087
    Oben rechts KachelX + 1 65171 KachelY 45709 -0.01749697 0.83304717 -1.002503 47.730087
    Unten links KachelX 65170 KachelY + 1 45710 -0.01754491 0.83301493 -1.005249 47.728240
    Unten rechts KachelX + 1 65171 KachelY + 1 45710 -0.01749697 0.83301493 -1.002503 47.728240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83304717-0.83301493) × R
    3.22399999999057e-05 × 6371000     		dl = 205.401039999399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83304717-0.83301493) × R
    3.22399999999057e-05 × 6371000     		dr = 205.401039999399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01754491--0.01749697) × cos(0.83304717) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.672624028023997 × 6371000     		do = 205.436691501009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01754491--0.01749697) × cos(0.83301493) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.672647884771582 × 6371000     		du = 205.443977965794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83304717)-sin(0.83301493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672624028023997-0.672647884771582)×R²
    abs(-0.01749697--0.01754491)×2.38567475852047e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38567475852047e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38567475852047e-05×40589641000000     		ar = 42197.6584156143m²