Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65167 / 45713
↖ ↑ ↗
← N 47.722697°
W  1.013489°		 ← 205.47 m → N 47.722697°
W  1.010742°		 →
↑
205.46 m
↓
↑
205.46 m
↓
N 47.720849°
W  1.013489°		 ← 205.47 m →
42 217 m²		 N 47.720849°
W  1.010742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497188568115234 y=0.348766326904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497188568115234 × 217)
    floor (0.497188568115234 × 131072)
    floor (65167.5)     		tx = 65167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348766326904297 × 217)
    floor (0.348766326904297 × 131072)
    floor (45713.5)     		ty = 45713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65167 / 45713 ti = "17/65167/45713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65167/45713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65167 ÷ 217
    65167 ÷ 131072     		x = 0.497184753417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45713 ÷ 217
    45713 ÷ 131072     		y = 0.348762512207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497184753417969 × 2 - 1) × π
    -0.0056304931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01768872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348762512207031 × 2 - 1) × π
    0.302474975585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.950253161168373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01768872} λ = -0.01768872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.950253161168373))-π/2
    2×atan(2.58636434346108)-π/2
    2×1.20185725782974-π/2
    2.40371451565948-1.57079632675     		φ = 0.83291819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01768872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.013489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83291819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.722697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65167 KachelY 45713 -0.01768872 0.83291819 -1.013489 47.722697
    Oben rechts KachelX + 1 65168 KachelY 45713 -0.01764078 0.83291819 -1.010742 47.722697
    Unten links KachelX 65167 KachelY + 1 45714 -0.01768872 0.83288594 -1.013489 47.720849
    Unten rechts KachelX + 1 65168 KachelY + 1 45714 -0.01764078 0.83288594 -1.010742 47.720849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83291819-0.83288594) × R
    3.22499999999559e-05 × 6371000     		dl = 205.464749999719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83291819-0.83288594) × R
    3.22499999999559e-05 × 6371000     		dr = 205.464749999719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01768872--0.01764078) × cos(0.83291819) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.67271946561722 × 6371000     		do = 205.465840598558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01768872--0.01764078) × cos(0.83288594) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.672743326966334 × 6371000     		du = 205.473128468768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83291819)-sin(0.83288594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67271946561722-0.672743326966334)×R²
    abs(-0.01764078--0.01768872)×2.38613491139184e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.38613491139184e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.38613491139184e-05×40589641000000     		ar = 42216.7362759943m²