Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65163 / 45721
↖ ↑ ↗
← N 47.707914°
W  1.024475°		 ← 205.48 m → N 47.707914°
W  1.021729°		 →
↑
205.53 m
↓
↑
205.53 m
↓
N 47.706065°
W  1.024475°		 ← 205.49 m →
42 233 m²		 N 47.706065°
W  1.021729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497158050537109 y=0.348827362060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497158050537109 × 217)
    floor (0.497158050537109 × 131072)
    floor (65163.5)     		tx = 65163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348827362060547 × 217)
    floor (0.348827362060547 × 131072)
    floor (45721.5)     		ty = 45721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65163 / 45721 ti = "17/65163/45721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65163/45721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65163 ÷ 217
    65163 ÷ 131072     		x = 0.497154235839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45721 ÷ 217
    45721 ÷ 131072     		y = 0.348823547363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497154235839844 × 2 - 1) × π
    -0.0056915283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01788046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348823547363281 × 2 - 1) × π
    0.302352905273438 × 3.1415926535     		Φ = 0.949869665971413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01788046} λ = -0.01788046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.949869665971413))-π/2
    2×atan(2.58537267531991)-π/2
    2×1.20172824718669-π/2
    2.40345649437338-1.57079632675     		φ = 0.83266017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01788046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.024475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83266017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.707914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65163 KachelY 45721 -0.01788046 0.83266017 -1.024475 47.707914
    Oben rechts KachelX + 1 65164 KachelY 45721 -0.01783253 0.83266017 -1.021729 47.707914
    Unten links KachelX 65163 KachelY + 1 45722 -0.01788046 0.83262791 -1.024475 47.706065
    Unten rechts KachelX + 1 65164 KachelY + 1 45722 -0.01783253 0.83262791 -1.021729 47.706065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83266017-0.83262791) × R
    3.22600000000062e-05 × 6371000     		dl = 205.528460000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83266017-0.83262791) × R
    3.22600000000062e-05 × 6371000     		dr = 205.528460000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01788046--0.01783253) × cos(0.83266017) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.67291035161176 × 6371000     		do = 205.481270976187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01788046--0.01783253) × cos(0.83262791) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.672934214759207 × 6371000     		du = 205.488557875334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83266017)-sin(0.83262791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67291035161176-0.672934214759207)×R²
    abs(-0.01783253--0.01788046)×2.38631474476225e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.38631474476225e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.38631474476225e-05×40589641000000     		ar = 42232.9980187874m²