Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65161 / 45722
↖ ↑ ↗
← N 47.706065°
W  1.029968°		 ← 205.53 m → N 47.706065°
W  1.027222°		 →
↑
205.53 m
↓
↑
205.53 m
↓
N 47.704217°
W  1.029968°		 ← 205.54 m →
42 243 m²		 N 47.704217°
W  1.027222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497142791748047 y=0.348834991455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497142791748047 × 217)
    floor (0.497142791748047 × 131072)
    floor (65161.5)     		tx = 65161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348834991455078 × 217)
    floor (0.348834991455078 × 131072)
    floor (45722.5)     		ty = 45722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65161 / 45722 ti = "17/65161/45722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65161/45722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65161 ÷ 217
    65161 ÷ 131072     		x = 0.497138977050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45722 ÷ 217
    45722 ÷ 131072     		y = 0.348831176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497138977050781 × 2 - 1) × π
    -0.0057220458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01797634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348831176757812 × 2 - 1) × π
    0.302337646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.949821729071793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01797634} λ = -0.01797634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.949821729071793))-π/2
    2×atan(2.58524874353997)-π/2
    2×1.2017121182827-π/2
    2.40342423656539-1.57079632675     		φ = 0.83262791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01797634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.029968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83262791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.706065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65161 KachelY 45722 -0.01797634 0.83262791 -1.029968 47.706065
    Oben rechts KachelX + 1 65162 KachelY 45722 -0.01792840 0.83262791 -1.027222 47.706065
    Unten links KachelX 65161 KachelY + 1 45723 -0.01797634 0.83259565 -1.029968 47.704217
    Unten rechts KachelX + 1 65162 KachelY + 1 45723 -0.01792840 0.83259565 -1.027222 47.704217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83262791-0.83259565) × R
    3.22600000000062e-05 × 6371000     		dl = 205.528460000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83262791-0.83259565) × R
    3.22600000000062e-05 × 6371000     		dr = 205.528460000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01797634--0.01792840) × cos(0.83262791) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.672934214759207 × 6371000     		do = 205.531430514149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01797634--0.01792840) × cos(0.83259565) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.672958077206327 × 6371000     		du = 205.538718719719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83262791)-sin(0.83259565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672934214759207-0.672958077206327)×R²
    abs(-0.01792840--0.01797634)×2.38624471199378e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38624471199378e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38624471199378e-05×40589641000000     		ar = 42243.307365709m²