Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65158 / 48326
↖ ↑ ↗
← N 42.670320°
W  1.038208°		 ← 224.57 m → N 42.670320°
W  1.035461°		 →
↑
224.51 m
↓
↑
224.51 m
↓
N 42.668301°
W  1.038208°		 ← 224.58 m →
50 420 m²		 N 42.668301°
W  1.035461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497119903564453 y=0.368701934814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497119903564453 × 217)
    floor (0.497119903564453 × 131072)
    floor (65158.5)     		tx = 65158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368701934814453 × 217)
    floor (0.368701934814453 × 131072)
    floor (48326.5)     		ty = 48326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65158 / 48326 ti = "17/65158/48326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65158/48326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65158 ÷ 217
    65158 ÷ 131072     		x = 0.497116088867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48326 ÷ 217
    48326 ÷ 131072     		y = 0.368698120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497116088867188 × 2 - 1) × π
    -0.005767822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01812015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368698120117188 × 2 - 1) × π
    0.262603759765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.824994042461166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01812015} λ = -0.01812015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.824994042461166))-π/2
    2×atan(2.28186717097653)-π/2
    2×1.15776694984343-π/2
    2.31553389968685-1.57079632675     		φ = 0.74473757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01812015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.038208°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74473757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.670320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65158 KachelY 48326 -0.01812015 0.74473757 -1.038208 42.670320
    Oben rechts KachelX + 1 65159 KachelY 48326 -0.01807221 0.74473757 -1.035461 42.670320
    Unten links KachelX 65158 KachelY + 1 48327 -0.01812015 0.74470233 -1.038208 42.668301
    Unten rechts KachelX + 1 65159 KachelY + 1 48327 -0.01807221 0.74470233 -1.035461 42.668301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74473757-0.74470233) × R
    3.52399999999919e-05 × 6371000     		dl = 224.514039999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74473757-0.74470233) × R
    3.52399999999919e-05 × 6371000     		dr = 224.514039999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01812015--0.01807221) × cos(0.74473757) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.735265797208947 × 6371000     		do = 224.569100209248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01812015--0.01807221) × cos(0.74470233) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.735289681680055 × 6371000     		du = 224.57639514151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74473757)-sin(0.74470233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735265797208947-0.735289681680055)×R²
    abs(-0.01807221--0.01812015)×2.38844711079045e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.38844711079045e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.38844711079045e-05×40589641000000     		ar = 50419.7348596965m²