Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65157 / 47766
↖ ↑ ↗
← N 43.790924°
W  1.040954°		 ← 220.43 m → N 43.790924°
W  1.038208°		 →
↑
220.44 m
↓
↑
220.44 m
↓
N 43.788941°
W  1.040954°		 ← 220.44 m →
48 592 m²		 N 43.788941°
W  1.038208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497112274169922 y=0.364429473876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497112274169922 × 217)
    floor (0.497112274169922 × 131072)
    floor (65157.5)     		tx = 65157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364429473876953 × 217)
    floor (0.364429473876953 × 131072)
    floor (47766.5)     		ty = 47766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65157 / 47766 ti = "17/65157/47766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65157/47766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65157 ÷ 217
    65157 ÷ 131072     		x = 0.497108459472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47766 ÷ 217
    47766 ÷ 131072     		y = 0.364425659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497108459472656 × 2 - 1) × π
    -0.0057830810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01816808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364425659179688 × 2 - 1) × π
    0.271148681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.851838706248398
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01816808} λ = -0.01816808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.851838706248398))-π/2
    2×atan(2.34395273262342)-π/2
    2×1.16754606526193-π/2
    2.33509213052387-1.57079632675     		φ = 0.76429580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01816808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.040954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76429580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.790924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65157 KachelY 47766 -0.01816808 0.76429580 -1.040954 43.790924
    Oben rechts KachelX + 1 65158 KachelY 47766 -0.01812015 0.76429580 -1.038208 43.790924
    Unten links KachelX 65157 KachelY + 1 47767 -0.01816808 0.76426120 -1.040954 43.788941
    Unten rechts KachelX + 1 65158 KachelY + 1 47767 -0.01812015 0.76426120 -1.038208 43.788941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76429580-0.76426120) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dl = 220.436599999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76429580-0.76426120) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dr = 220.436599999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01816808--0.01812015) × cos(0.76429580) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.721869863084791 × 6371000     		do = 220.431646787385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01816808--0.01812015) × cos(0.76426120) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.721893806850188 × 6371000     		du = 220.438958304192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76429580)-sin(0.76426120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721869863084791-0.721893806850188)×R²
    abs(-0.01812015--0.01816808)×2.39437653968277e-05×R²
    4.79299999999981e-05×2.39437653968277e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×2.39437653968277e-05×40589641000000     		ar = 48592.0086178766m²