Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65157 / 47762
↖ ↑ ↗
← N 43.798854°
W  1.040954°		 ← 220.40 m → N 43.798854°
W  1.038208°		 →
↑
220.44 m
↓
↑
220.44 m
↓
N 43.796872°
W  1.040954°		 ← 220.41 m →
48 586 m²		 N 43.796872°
W  1.038208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497112274169922 y=0.364398956298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497112274169922 × 217)
    floor (0.497112274169922 × 131072)
    floor (65157.5)     		tx = 65157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364398956298828 × 217)
    floor (0.364398956298828 × 131072)
    floor (47762.5)     		ty = 47762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65157 / 47762 ti = "17/65157/47762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65157/47762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65157 ÷ 217
    65157 ÷ 131072     		x = 0.497108459472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47762 ÷ 217
    47762 ÷ 131072     		y = 0.364395141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497108459472656 × 2 - 1) × π
    -0.0057830810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01816808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364395141601562 × 2 - 1) × π
    0.271209716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.852030453846878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01816808} λ = -0.01816808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.852030453846878))-π/2
    2×atan(2.34440222302383)-π/2
    2×1.1676152690762-π/2
    2.3352305381524-1.57079632675     		φ = 0.76443421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01816808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.040954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76443421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.798854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65157 KachelY 47762 -0.01816808 0.76443421 -1.040954 43.798854
    Oben rechts KachelX + 1 65158 KachelY 47762 -0.01812015 0.76443421 -1.038208 43.798854
    Unten links KachelX 65157 KachelY + 1 47763 -0.01816808 0.76439961 -1.040954 43.796872
    Unten rechts KachelX + 1 65158 KachelY + 1 47763 -0.01812015 0.76439961 -1.038208 43.796872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76443421-0.76439961) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dl = 220.436599999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76443421-0.76439961) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dr = 220.436599999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01816808--0.01812015) × cos(0.76443421) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.721774072460265 × 6371000     		do = 220.402395967825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01816808--0.01812015) × cos(0.76439961) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.721798019682515 × 6371000     		du = 220.409708540224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76443421)-sin(0.76439961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721774072460265-0.721798019682515)×R²
    abs(-0.01812015--0.01816808)×2.39472222495207e-05×R²
    4.79299999999981e-05×2.39472222495207e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×2.39472222495207e-05×40589641000000     		ar = 48585.5607829474m²