Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65157 / 43909
↖ ↑ ↗
← N 50.949776°
W  1.040954°		 ← 192.38 m → N 50.949776°
W  1.038208°		 →
↑
192.40 m
↓
↑
192.40 m
↓
N 50.948045°
W  1.040954°		 ← 192.39 m →
37 015 m²		 N 50.948045°
W  1.038208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497112274169922 y=0.335002899169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497112274169922 × 217)
    floor (0.497112274169922 × 131072)
    floor (65157.5)     		tx = 65157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335002899169922 × 217)
    floor (0.335002899169922 × 131072)
    floor (43909.5)     		ty = 43909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65157 / 43909 ti = "17/65157/43909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65157/43909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65157 ÷ 217
    65157 ÷ 131072     		x = 0.497108459472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43909 ÷ 217
    43909 ÷ 131072     		y = 0.334999084472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497108459472656 × 2 - 1) × π
    -0.0057830810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01816808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334999084472656 × 2 - 1) × π
    0.330001831054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.03673132808295
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01816808} λ = -0.01816808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03673132808295))-π/2
    2×atan(2.81998432967841)-π/2
    2×1.2300188336121-π/2
    2.4600376672242-1.57079632675     		φ = 0.88924134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01816808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.040954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88924134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.949776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65157 KachelY 43909 -0.01816808 0.88924134 -1.040954 50.949776
    Oben rechts KachelX + 1 65158 KachelY 43909 -0.01812015 0.88924134 -1.038208 50.949776
    Unten links KachelX 65157 KachelY + 1 43910 -0.01816808 0.88921114 -1.040954 50.948045
    Unten rechts KachelX + 1 65158 KachelY + 1 43910 -0.01812015 0.88921114 -1.038208 50.948045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88924134-0.88921114) × R
    3.01999999999802e-05 × 6371000     		dl = 192.404199999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88924134-0.88921114) × R
    3.01999999999802e-05 × 6371000     		dr = 192.404199999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01816808--0.01812015) × cos(0.88924134) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.630001378635367 × 6371000     		do = 192.378499882887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01816808--0.01812015) × cos(0.88921114) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.630024831487299 × 6371000     		du = 192.385661493362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88924134)-sin(0.88921114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630001378635367-0.630024831487299)×R²
    abs(-0.01812015--0.01816808)×2.34528519326149e-05×R²
    4.79299999999981e-05×2.34528519326149e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×2.34528519326149e-05×40589641000000     		ar = 37015.1203318032m²