Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65155 / 45953
↖ ↑ ↗
← N 47.277366°
W  1.046448°		 ← 207.22 m → N 47.277366°
W  1.043701°		 →
↑
207.18 m
↓
↑
207.18 m
↓
N 47.275502°
W  1.046448°		 ← 207.22 m →
42 933 m²		 N 47.275502°
W  1.043701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497097015380859 y=0.350597381591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497097015380859 × 217)
    floor (0.497097015380859 × 131072)
    floor (65155.5)     		tx = 65155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350597381591797 × 217)
    floor (0.350597381591797 × 131072)
    floor (45953.5)     		ty = 45953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65155 / 45953 ti = "17/65155/45953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65155/45953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65155 ÷ 217
    65155 ÷ 131072     		x = 0.497093200683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45953 ÷ 217
    45953 ÷ 131072     		y = 0.350593566894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497093200683594 × 2 - 1) × π
    -0.0058135986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01826396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350593566894531 × 2 - 1) × π
    0.298812866210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.93874830525956
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01826396} λ = -0.01826396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93874830525956))-π/2
    2×atan(2.55677910762815)-π/2
    2×1.19797100923095-π/2
    2.3959420184619-1.57079632675     		φ = 0.82514569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01826396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.046448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82514569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.277366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65155 KachelY 45953 -0.01826396 0.82514569 -1.046448 47.277366
    Oben rechts KachelX + 1 65156 KachelY 45953 -0.01821602 0.82514569 -1.043701 47.277366
    Unten links KachelX 65155 KachelY + 1 45954 -0.01826396 0.82511317 -1.046448 47.275502
    Unten rechts KachelX + 1 65156 KachelY + 1 45954 -0.01821602 0.82511317 -1.043701 47.275502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82514569-0.82511317) × R
    3.25200000000914e-05 × 6371000     		dl = 207.184920000582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82514569-0.82511317) × R
    3.25200000000914e-05 × 6371000     		dr = 207.184920000582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01826396--0.01821602) × cos(0.82514569) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.678449942156442 × 6371000     		do = 207.216075636088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01826396--0.01821602) × cos(0.82511317) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.678473832506209 × 6371000     		du = 207.223372363844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82514569)-sin(0.82511317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678449942156442-0.678473832506209)×R²
    abs(-0.01821602--0.01826396)×2.38903497670195e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38903497670195e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38903497670195e-05×40589641000000     		ar = 42932.801943417m²