Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65152 / 46209
↖ ↑ ↗
← N 46.798179°
W  1.054688°		 ← 209.09 m → N 46.798179°
W  1.051941°		 →
↑
209.03 m
↓
↑
209.03 m
↓
N 46.796299°
W  1.054688°		 ← 209.09 m →
43 706 m²		 N 46.796299°
W  1.051941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497074127197266 y=0.352550506591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497074127197266 × 217)
    floor (0.497074127197266 × 131072)
    floor (65152.5)     		tx = 65152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352550506591797 × 217)
    floor (0.352550506591797 × 131072)
    floor (46209.5)     		ty = 46209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65152 / 46209 ti = "17/65152/46209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65152/46209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65152 ÷ 217
    65152 ÷ 131072     		x = 0.4970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46209 ÷ 217
    46209 ÷ 131072     		y = 0.352546691894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4970703125 × 2 - 1) × π
    -0.005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01840777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352546691894531 × 2 - 1) × π
    0.294906616210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.926476458956825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01840777} λ = -0.01840777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.926476458956825))-π/2
    2×atan(2.52559444544186)-π/2
    2×1.19378931932464-π/2
    2.38757863864928-1.57079632675     		φ = 0.81678231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01840777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81678231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.798179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65152 KachelY 46209 -0.01840777 0.81678231 -1.054688 46.798179
    Oben rechts KachelX + 1 65153 KachelY 46209 -0.01835983 0.81678231 -1.051941 46.798179
    Unten links KachelX 65152 KachelY + 1 46210 -0.01840777 0.81674950 -1.054688 46.796299
    Unten rechts KachelX + 1 65153 KachelY + 1 46210 -0.01835983 0.81674950 -1.051941 46.796299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81678231-0.81674950) × R
    3.28099999999942e-05 × 6371000     		dl = 209.032509999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81678231-0.81674950) × R
    3.28099999999942e-05 × 6371000     		dr = 209.032509999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01840777--0.01835983) × cos(0.81678231) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.684570272157392 × 6371000     		do = 209.085381955672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01840777--0.01835983) × cos(0.81674950) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.684594188535795 × 6371000     		du = 209.092686633244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81678231)-sin(0.81674950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684570272157392-0.684594188535795)×R²
    abs(-0.01835983--0.01840777)×2.391637840371e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.391637840371e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.391637840371e-05×40589641000000     		ar = 43706.4056561263m²