Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65150 / 46206
↖ ↑ ↗
← N 46.803820°
W  1.060180°		 ← 209.02 m → N 46.803820°
W  1.057434°		 →
↑
209.10 m
↓
↑
209.10 m
↓
N 46.801939°
W  1.060180°		 ← 209.03 m →
43 706 m²		 N 46.801939°
W  1.057434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497058868408203 y=0.352527618408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497058868408203 × 217)
    floor (0.497058868408203 × 131072)
    floor (65150.5)     		tx = 65150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352527618408203 × 217)
    floor (0.352527618408203 × 131072)
    floor (46206.5)     		ty = 46206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65150 / 46206 ti = "17/65150/46206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65150/46206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65150 ÷ 217
    65150 ÷ 131072     		x = 0.497055053710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46206 ÷ 217
    46206 ÷ 131072     		y = 0.352523803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497055053710938 × 2 - 1) × π
    -0.005889892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01850364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352523803710938 × 2 - 1) × π
    0.294952392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.926620269655685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01850364} λ = -0.01850364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.926620269655685))-π/2
    2×atan(2.52595767906191)-π/2
    2×1.19383854100909-π/2
    2.38767708201817-1.57079632675     		φ = 0.81688076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01850364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.060180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81688076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.803820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65150 KachelY 46206 -0.01850364 0.81688076 -1.060180 46.803820
    Oben rechts KachelX + 1 65151 KachelY 46206 -0.01845571 0.81688076 -1.057434 46.803820
    Unten links KachelX 65150 KachelY + 1 46207 -0.01850364 0.81684794 -1.060180 46.801939
    Unten rechts KachelX + 1 65151 KachelY + 1 46207 -0.01845571 0.81684794 -1.057434 46.801939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81688076-0.81684794) × R
    3.28199999999335e-05 × 6371000     		dl = 209.096219999576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81688076-0.81684794) × R
    3.28199999999335e-05 × 6371000     		dr = 209.096219999576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01850364--0.01845571) × cos(0.81688076) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.684498504020375 × 6371000     		do = 209.019852719617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01850364--0.01845571) × cos(0.81684794) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.68452242989988 × 6371000     		du = 209.027158774752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81688076)-sin(0.81684794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684498504020375-0.68452242989988)×R²
    abs(-0.01845571--0.01850364)×2.39258795052821e-05×R²
    4.79299999999981e-05×2.39258795052821e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×2.39258795052821e-05×40589641000000     		ar = 43706.0249466964m²