Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65149 / 48327
↖ ↑ ↗
← N 42.668301°
W  1.062927°		 ← 224.58 m → N 42.668301°
W  1.060180°		 →
↑
224.58 m
↓
↑
224.58 m
↓
N 42.666281°
W  1.062927°		 ← 224.58 m →
50 436 m²		 N 42.666281°
W  1.060180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497051239013672 y=0.368709564208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497051239013672 × 217)
    floor (0.497051239013672 × 131072)
    floor (65149.5)     		tx = 65149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368709564208984 × 217)
    floor (0.368709564208984 × 131072)
    floor (48327.5)     		ty = 48327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65149 / 48327 ti = "17/65149/48327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65149/48327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65149 ÷ 217
    65149 ÷ 131072     		x = 0.497047424316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48327 ÷ 217
    48327 ÷ 131072     		y = 0.368705749511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497047424316406 × 2 - 1) × π
    -0.0059051513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01855158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368705749511719 × 2 - 1) × π
    0.262588500976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.824946105561546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01855158} λ = -0.01855158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.824946105561546))-π/2
    2×atan(2.28175778796077)-π/2
    2×1.15774932637582-π/2
    2.31549865275165-1.57079632675     		φ = 0.74470233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01855158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.062927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74470233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.668301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65149 KachelY 48327 -0.01855158 0.74470233 -1.062927 42.668301
    Oben rechts KachelX + 1 65150 KachelY 48327 -0.01850364 0.74470233 -1.060180 42.668301
    Unten links KachelX 65149 KachelY + 1 48328 -0.01855158 0.74466708 -1.062927 42.666281
    Unten rechts KachelX + 1 65150 KachelY + 1 48328 -0.01850364 0.74466708 -1.060180 42.666281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74470233-0.74466708) × R
    3.52499999999312e-05 × 6371000     		dl = 224.577749999561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74470233-0.74466708) × R
    3.52499999999312e-05 × 6371000     		dr = 224.577749999561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01855158--0.01850364) × cos(0.74470233) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.735289681680055 × 6371000     		do = 224.57639514151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01855158--0.01850364) × cos(0.74466708) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.735313572015308 × 6371000     		du = 224.583691864834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74470233)-sin(0.74466708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735289681680055-0.735313572015308)×R²
    abs(-0.01850364--0.01855158)×2.3890335253185e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.3890335253185e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.3890335253185e-05×40589641000000     		ar = 50435.6808698851m²