Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65147 / 47743
↖ ↑ ↗
← N 43.836508°
W  1.068420°		 ← 220.26 m → N 43.836508°
W  1.065674°		 →
↑
220.31 m
↓
↑
220.31 m
↓
N 43.834527°
W  1.068420°		 ← 220.27 m →
48 527 m²		 N 43.834527°
W  1.065674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497035980224609 y=0.364253997802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497035980224609 × 217)
    floor (0.497035980224609 × 131072)
    floor (65147.5)     		tx = 65147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364253997802734 × 217)
    floor (0.364253997802734 × 131072)
    floor (47743.5)     		ty = 47743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65147 / 47743 ti = "17/65147/47743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65147/47743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65147 ÷ 217
    65147 ÷ 131072     		x = 0.497032165527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47743 ÷ 217
    47743 ÷ 131072     		y = 0.364250183105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497032165527344 × 2 - 1) × π
    -0.0059356689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01864745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364250183105469 × 2 - 1) × π
    0.271499633789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.852941254939659
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01864745} λ = -0.01864745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.852941254939659))-π/2
    2×atan(2.34653847983531)-π/2
    2×1.16794386177715-π/2
    2.33588772355431-1.57079632675     		φ = 0.76509140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01864745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.068420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76509140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.836508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65147 KachelY 47743 -0.01864745 0.76509140 -1.068420 43.836508
    Oben rechts KachelX + 1 65148 KachelY 47743 -0.01859952 0.76509140 -1.065674 43.836508
    Unten links KachelX 65147 KachelY + 1 47744 -0.01864745 0.76505682 -1.068420 43.834527
    Unten rechts KachelX + 1 65148 KachelY + 1 47744 -0.01859952 0.76505682 -1.065674 43.834527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76509140-0.76505682) × R
    3.45800000000063e-05 × 6371000     		dl = 220.30918000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76509140-0.76505682) × R
    3.45800000000063e-05 × 6371000     		dr = 220.30918000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01864745--0.01859952) × cos(0.76509140) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.721319056541826 × 6371000     		do = 220.263451383288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01864745--0.01859952) × cos(0.76505682) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.721343006319873 × 6371000     		du = 220.270764736131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76509140)-sin(0.76505682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721319056541826-0.721343006319873)×R²
    abs(-0.01859952--0.01864745)×2.39497780470943e-05×R²
    4.79299999999981e-05×2.39497780470943e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×2.39497780470943e-05×40589641000000     		ar = 48526.8659622869m²