Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65145 / 44786
↖ ↑ ↗
← N 49.407399°
W  1.073914°		 ← 198.73 m → N 49.407399°
W  1.071167°		 →
↑
198.71 m
↓
↑
198.71 m
↓
N 49.405612°
W  1.073914°		 ← 198.74 m →
39 491 m²		 N 49.405612°
W  1.071167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497020721435547 y=0.341693878173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497020721435547 × 217)
    floor (0.497020721435547 × 131072)
    floor (65145.5)     		tx = 65145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341693878173828 × 217)
    floor (0.341693878173828 × 131072)
    floor (44786.5)     		ty = 44786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65145 / 44786 ti = "17/65145/44786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65145/44786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65145 ÷ 217
    65145 ÷ 131072     		x = 0.497016906738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44786 ÷ 217
    44786 ÷ 131072     		y = 0.341690063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497016906738281 × 2 - 1) × π
    -0.0059661865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01874333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341690063476562 × 2 - 1) × π
    0.316619873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.994690667116165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01874333} λ = -0.01874333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.994690667116165))-π/2
    2×atan(2.7038878104889)-π/2
    2×1.21655905760046-π/2
    2.43311811520092-1.57079632675     		φ = 0.86232179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01874333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.073914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86232179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.407399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65145 KachelY 44786 -0.01874333 0.86232179 -1.073914 49.407399
    Oben rechts KachelX + 1 65146 KachelY 44786 -0.01869539 0.86232179 -1.071167 49.407399
    Unten links KachelX 65145 KachelY + 1 44787 -0.01874333 0.86229060 -1.073914 49.405612
    Unten rechts KachelX + 1 65146 KachelY + 1 44787 -0.01869539 0.86229060 -1.071167 49.405612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86232179-0.86229060) × R
    3.11899999999588e-05 × 6371000     		dl = 198.711489999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86232179-0.86229060) × R
    3.11899999999588e-05 × 6371000     		dr = 198.711489999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01874333--0.01869539) × cos(0.86232179) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.650676159911406 × 6371000     		do = 198.733247641299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01874333--0.01869539) × cos(0.86229060) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.650699843888015 × 6371000     		du = 198.740481337381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86232179)-sin(0.86229060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650676159911406-0.650699843888015)×R²
    abs(-0.01869539--0.01874333)×2.36839766086794e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.36839766086794e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.36839766086794e-05×40589641000000     		ar = 39491.2984637421m²