Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65144 / 47780
↖ ↑ ↗
← N 43.763160°
W  1.076660°		 ← 220.53 m → N 43.763160°
W  1.073914°		 →
↑
220.56 m
↓
↑
220.56 m
↓
N 43.761176°
W  1.076660°		 ← 220.54 m →
48 643 m²		 N 43.761176°
W  1.073914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497013092041016 y=0.364536285400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497013092041016 × 217)
    floor (0.497013092041016 × 131072)
    floor (65144.5)     		tx = 65144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364536285400391 × 217)
    floor (0.364536285400391 × 131072)
    floor (47780.5)     		ty = 47780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65144 / 47780 ti = "17/65144/47780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65144/47780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65144 ÷ 217
    65144 ÷ 131072     		x = 0.49700927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47780 ÷ 217
    47780 ÷ 131072     		y = 0.364532470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49700927734375 × 2 - 1) × π
    -0.0059814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01879126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364532470703125 × 2 - 1) × π
    0.27093505859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.851167589653717
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01879126} λ = -0.01879126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.851167589653717))-π/2
    2×atan(2.34238019478455)-π/2
    2×1.16730377959186-π/2
    2.33460755918372-1.57079632675     		φ = 0.76381123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01879126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.076660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76381123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.763160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65144 KachelY 47780 -0.01879126 0.76381123 -1.076660 43.763160
    Oben rechts KachelX + 1 65145 KachelY 47780 -0.01874333 0.76381123 -1.073914 43.763160
    Unten links KachelX 65144 KachelY + 1 47781 -0.01879126 0.76377661 -1.076660 43.761176
    Unten rechts KachelX + 1 65145 KachelY + 1 47781 -0.01874333 0.76377661 -1.073914 43.761176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76381123-0.76377661) × R
    3.46199999999852e-05 × 6371000     		dl = 220.564019999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76381123-0.76377661) × R
    3.46199999999852e-05 × 6371000     		dr = 220.564019999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01879126--0.01874333) × cos(0.76381123) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.722205114731109 × 6371000     		do = 220.534019910682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01879126--0.01874333) × cos(0.76377661) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.722229060223615 × 6371000     		du = 220.541331954883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76381123)-sin(0.76377661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722205114731109-0.722229060223615)×R²
    abs(-0.01874333--0.01879126)×2.39454925063942e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39454925063942e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39454925063942e-05×40589641000000     		ar = 48642.6763698436m²