Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65141 / 47941
↖ ↑ ↗
← N 43.442949°
W  1.084900°		 ← 221.76 m → N 43.442949°
W  1.082153°		 →
↑
221.71 m
↓
↑
221.71 m
↓
N 43.440955°
W  1.084900°		 ← 221.76 m →
49 167 m²		 N 43.440955°
W  1.082153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496990203857422 y=0.365764617919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496990203857422 × 217)
    floor (0.496990203857422 × 131072)
    floor (65141.5)     		tx = 65141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365764617919922 × 217)
    floor (0.365764617919922 × 131072)
    floor (47941.5)     		ty = 47941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65141 / 47941 ti = "17/65141/47941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65141/47941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65141 ÷ 217
    65141 ÷ 131072     		x = 0.496986389160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47941 ÷ 217
    47941 ÷ 131072     		y = 0.365760803222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496986389160156 × 2 - 1) × π
    -0.0060272216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01893508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365760803222656 × 2 - 1) × π
    0.268478393554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.843449748814888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01893508} λ = -0.01893508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.843449748814888))-π/2
    2×atan(2.32437166014908)-π/2
    2×1.16450941011178-π/2
    2.32901882022357-1.57079632675     		φ = 0.75822249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01893508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.084900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75822249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.442949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65141 KachelY 47941 -0.01893508 0.75822249 -1.084900 43.442949
    Oben rechts KachelX + 1 65142 KachelY 47941 -0.01888714 0.75822249 -1.082153 43.442949
    Unten links KachelX 65141 KachelY + 1 47942 -0.01893508 0.75818769 -1.084900 43.440955
    Unten rechts KachelX + 1 65142 KachelY + 1 47942 -0.01888714 0.75818769 -1.082153 43.440955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75822249-0.75818769) × R
    3.48000000000015e-05 × 6371000     		dl = 221.71080000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75822249-0.75818769) × R
    3.48000000000015e-05 × 6371000     		dr = 221.71080000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01893508--0.01888714) × cos(0.75822249) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.726059429779424 × 6371000     		do = 221.757238624358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01893508--0.01888714) × cos(0.75818769) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.726083358931782 × 6371000     		du = 221.764547203424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75822249)-sin(0.75818769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726059429779424-0.726083358931782)×R²
    abs(-0.01888714--0.01893508)×2.39291523576046e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39291523576046e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39291523576046e-05×40589641000000     		ar = 49166.7849816061m²