Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65140 / 47916
↖ ↑ ↗
← N 43.492783°
W  1.087646°		 ← 221.53 m → N 43.492783°
W  1.084900°		 →
↑
221.58 m
↓
↑
221.58 m
↓
N 43.490790°
W  1.087646°		 ← 221.54 m →
49 088 m²		 N 43.490790°
W  1.084900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496982574462891 y=0.365573883056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496982574462891 × 217)
    floor (0.496982574462891 × 131072)
    floor (65140.5)     		tx = 65140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365573883056641 × 217)
    floor (0.365573883056641 × 131072)
    floor (47916.5)     		ty = 47916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65140 / 47916 ti = "17/65140/47916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65140/47916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65140 ÷ 217
    65140 ÷ 131072     		x = 0.496978759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47916 ÷ 217
    47916 ÷ 131072     		y = 0.365570068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496978759765625 × 2 - 1) × π
    -0.00604248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01898301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365570068359375 × 2 - 1) × π
    0.26885986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.844648171305389
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01898301} λ = -0.01898301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.844648171305389))-π/2
    2×atan(2.3271589092403)-π/2
    2×1.16494429381785-π/2
    2.32988858763569-1.57079632675     		φ = 0.75909226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01898301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.087646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75909226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.492783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65140 KachelY 47916 -0.01898301 0.75909226 -1.087646 43.492783
    Oben rechts KachelX + 1 65141 KachelY 47916 -0.01893508 0.75909226 -1.084900 43.492783
    Unten links KachelX 65140 KachelY + 1 47917 -0.01898301 0.75905748 -1.087646 43.490790
    Unten rechts KachelX + 1 65141 KachelY + 1 47917 -0.01893508 0.75905748 -1.084900 43.490790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75909226-0.75905748) × R
    3.4780000000012e-05 × 6371000     		dl = 221.583380000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75909226-0.75905748) × R
    3.4780000000012e-05 × 6371000     		dr = 221.583380000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01898301--0.01893508) × cos(0.75909226) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.725461073578125 × 6371000     		do = 221.528266113803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01898301--0.01893508) × cos(0.75905748) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.725485010933395 × 6371000     		du = 221.535575673201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75909226)-sin(0.75905748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725461073578125-0.725485010933395)×R²
    abs(-0.01893508--0.01898301)×2.39373552705091e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39373552705091e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39373552705091e-05×40589641000000     		ar = 49087.7918144625m²