Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65134 / 44772
↖ ↑ ↗
← N 49.432413°
W  1.104126°		 ← 198.59 m → N 49.432413°
W  1.101380°		 →
↑
198.65 m
↓
↑
198.65 m
↓
N 49.430626°
W  1.104126°		 ← 198.60 m →
39 450 m²		 N 49.430626°
W  1.101380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496936798095703 y=0.341587066650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496936798095703 × 217)
    floor (0.496936798095703 × 131072)
    floor (65134.5)     		tx = 65134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341587066650391 × 217)
    floor (0.341587066650391 × 131072)
    floor (44772.5)     		ty = 44772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65134 / 44772 ti = "17/65134/44772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65134/44772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65134 ÷ 217
    65134 ÷ 131072     		x = 0.496932983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44772 ÷ 217
    44772 ÷ 131072     		y = 0.341583251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496932983398438 × 2 - 1) × π
    -0.006134033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01927063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341583251953125 × 2 - 1) × π
    0.31683349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.995361783710846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01927063} λ = -0.01927063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.995361783710846))-π/2
    2×atan(2.70570304351704)-π/2
    2×1.216777341753-π/2
    2.433554683506-1.57079632675     		φ = 0.86275836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01927063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.104126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86275836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.432413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65134 KachelY 44772 -0.01927063 0.86275836 -1.104126 49.432413
    Oben rechts KachelX + 1 65135 KachelY 44772 -0.01922270 0.86275836 -1.101380 49.432413
    Unten links KachelX 65134 KachelY + 1 44773 -0.01927063 0.86272718 -1.104126 49.430626
    Unten rechts KachelX + 1 65135 KachelY + 1 44773 -0.01922270 0.86272718 -1.101380 49.430626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86275836-0.86272718) × R
    3.11799999999085e-05 × 6371000     		dl = 198.647779999417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86275836-0.86272718) × R
    3.11799999999085e-05 × 6371000     		dr = 198.647779999417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01927063--0.01922270) × cos(0.86275836) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.650344586153146 × 6371000     		do = 198.590543027241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01927063--0.01922270) × cos(0.86272718) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.650368271391477 × 6371000     		du = 198.597775599699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86275836)-sin(0.86272718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650344586153146-0.650368271391477)×R²
    abs(-0.01922270--0.01927063)×2.36852383309616e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.36852383309616e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.36852383309616e-05×40589641000000     		ar = 39450.2888717248m²