Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65127 / 47913
↖ ↑ ↗
← N 43.498760°
W  1.123352°		 ← 221.51 m → N 43.498760°
W  1.120606°		 →
↑
221.52 m
↓
↑
221.52 m
↓
N 43.496768°
W  1.123352°		 ← 221.51 m →
49 069 m²		 N 43.496768°
W  1.120606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496883392333984 y=0.365550994873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496883392333984 × 217)
    floor (0.496883392333984 × 131072)
    floor (65127.5)     		tx = 65127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365550994873047 × 217)
    floor (0.365550994873047 × 131072)
    floor (47913.5)     		ty = 47913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65127 / 47913 ti = "17/65127/47913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65127/47913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65127 ÷ 217
    65127 ÷ 131072     		x = 0.496879577636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47913 ÷ 217
    47913 ÷ 131072     		y = 0.365547180175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496879577636719 × 2 - 1) × π
    -0.0062408447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01960619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365547180175781 × 2 - 1) × π
    0.268905639648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.84479198200425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01960619} λ = -0.01960619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.84479198200425))-π/2
    2×atan(2.32749360365513)-π/2
    2×1.16499645576818-π/2
    2.32999291153635-1.57079632675     		φ = 0.75919658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01960619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.123352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75919658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.498760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65127 KachelY 47913 -0.01960619 0.75919658 -1.123352 43.498760
    Oben rechts KachelX + 1 65128 KachelY 47913 -0.01955826 0.75919658 -1.120606 43.498760
    Unten links KachelX 65127 KachelY + 1 47914 -0.01960619 0.75916181 -1.123352 43.496768
    Unten rechts KachelX + 1 65128 KachelY + 1 47914 -0.01955826 0.75916181 -1.120606 43.496768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75919658-0.75916181) × R
    3.47699999999618e-05 × 6371000     		dl = 221.519669999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75919658-0.75916181) × R
    3.47699999999618e-05 × 6371000     		dr = 221.519669999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01960619--0.01955826) × cos(0.75919658) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.72538927001389 × 6371000     		do = 221.506340031651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01960619--0.01955826) × cos(0.75916181) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.725413203118091 × 6371000     		du = 221.513648292934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75919658)-sin(0.75916181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72538927001389-0.725413203118091)×R²
    abs(-0.01955826--0.01960619)×2.39331042010127e-05×R²
    4.79299999999981e-05×2.39331042010127e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×2.39331042010127e-05×40589641000000     		ar = 49068.8208133517m²