Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65126 / 47908
↖ ↑ ↗
← N 43.508721°
W  1.126099°		 ← 221.52 m → N 43.508721°
W  1.123352°		 →
↑
221.52 m
↓
↑
221.52 m
↓
N 43.506729°
W  1.126099°		 ← 221.52 m →
49 071 m²		 N 43.506729°
W  1.123352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496875762939453 y=0.365512847900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496875762939453 × 217)
    floor (0.496875762939453 × 131072)
    floor (65126.5)     		tx = 65126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365512847900391 × 217)
    floor (0.365512847900391 × 131072)
    floor (47908.5)     		ty = 47908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65126 / 47908 ti = "17/65126/47908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65126/47908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65126 ÷ 217
    65126 ÷ 131072     		x = 0.496871948242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47908 ÷ 217
    47908 ÷ 131072     		y = 0.365509033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496871948242188 × 2 - 1) × π
    -0.006256103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01965413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365509033203125 × 2 - 1) × π
    0.26898193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.84503166650235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01965413} λ = -0.01965413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.84503166650235))-π/2
    2×atan(2.32805153465239)-π/2
    2×1.16508338087807-π/2
    2.33016676175615-1.57079632675     		φ = 0.75937044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01965413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.126099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75937044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.508721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65126 KachelY 47908 -0.01965413 0.75937044 -1.126099 43.508721
    Oben rechts KachelX + 1 65127 KachelY 47908 -0.01960619 0.75937044 -1.123352 43.508721
    Unten links KachelX 65126 KachelY + 1 47909 -0.01965413 0.75933567 -1.126099 43.506729
    Unten rechts KachelX + 1 65127 KachelY + 1 47909 -0.01960619 0.75933567 -1.123352 43.506729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75937044-0.75933567) × R
    3.47699999999618e-05 × 6371000     		dl = 221.519669999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75937044-0.75933567) × R
    3.47699999999618e-05 × 6371000     		dr = 221.519669999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01965413--0.01960619) × cos(0.75937044) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.725269584454391 × 6371000     		do = 221.515999531474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01965413--0.01960619) × cos(0.75933567) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.725293521943363 × 6371000     		du = 221.523310656757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75937044)-sin(0.75933567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725269584454391-0.725293521943363)×R²
    abs(-0.01960619--0.01965413)×2.39374889712263e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39374889712263e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39374889712263e-05×40589641000000     		ar = 49070.9608999943m²