Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65124 / 44847
↖ ↑ ↗
← N 49.298263°
W  1.131592°		 ← 199.13 m → N 49.298263°
W  1.128845°		 →
↑
199.16 m
↓
↑
199.16 m
↓
N 49.296472°
W  1.131592°		 ← 199.14 m →
39 660 m²		 N 49.296472°
W  1.128845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496860504150391 y=0.342159271240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496860504150391 × 217)
    floor (0.496860504150391 × 131072)
    floor (65124.5)     		tx = 65124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342159271240234 × 217)
    floor (0.342159271240234 × 131072)
    floor (44847.5)     		ty = 44847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65124 / 44847 ti = "17/65124/44847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65124/44847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65124 ÷ 217
    65124 ÷ 131072     		x = 0.496856689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44847 ÷ 217
    44847 ÷ 131072     		y = 0.342155456542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496856689453125 × 2 - 1) × π
    -0.00628662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01975000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342155456542969 × 2 - 1) × π
    0.315689086914062 × 3.1415926535     		Φ = 0.991766516239342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01975000} λ = -0.01975000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.991766516239342))-π/2
    2×atan(2.69599278332796)-π/2
    2×1.21560666355218-π/2
    2.43121332710437-1.57079632675     		φ = 0.86041700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01975000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.131592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86041700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.298263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65124 KachelY 44847 -0.01975000 0.86041700 -1.131592 49.298263
    Oben rechts KachelX + 1 65125 KachelY 44847 -0.01970207 0.86041700 -1.128845 49.298263
    Unten links KachelX 65124 KachelY + 1 44848 -0.01975000 0.86038574 -1.131592 49.296472
    Unten rechts KachelX + 1 65125 KachelY + 1 44848 -0.01970207 0.86038574 -1.128845 49.296472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86041700-0.86038574) × R
    3.12599999999774e-05 × 6371000     		dl = 199.157459999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86041700-0.86038574) × R
    3.12599999999774e-05 × 6371000     		dr = 199.157459999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01975000--0.01970207) × cos(0.86041700) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.652121391098635 × 6371000     		do = 199.13311179231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01975000--0.01970207) × cos(0.86038574) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.652145089441261 × 6371000     		du = 199.140348366322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86041700)-sin(0.86038574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652121391098635-0.652145089441261)×R²
    abs(-0.01970207--0.01975000)×2.36983426261661e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.36983426261661e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.36983426261661e-05×40589641000000     		ar = 39659.5653584154m²