Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65114 / 48350
↖ ↑ ↗
← N 42.621834°
W  1.159058°		 ← 224.74 m → N 42.621834°
W  1.156311°		 →
↑
224.71 m
↓
↑
224.71 m
↓
N 42.619813°
W  1.159058°		 ← 224.75 m →
50 502 m²		 N 42.619813°
W  1.156311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496784210205078 y=0.368885040283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496784210205078 × 217)
    floor (0.496784210205078 × 131072)
    floor (65114.5)     		tx = 65114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368885040283203 × 217)
    floor (0.368885040283203 × 131072)
    floor (48350.5)     		ty = 48350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65114 / 48350 ti = "17/65114/48350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65114/48350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65114 ÷ 217
    65114 ÷ 131072     		x = 0.496780395507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48350 ÷ 217
    48350 ÷ 131072     		y = 0.368881225585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496780395507812 × 2 - 1) × π
    -0.006439208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02022937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368881225585938 × 2 - 1) × π
    0.262237548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.823843556870285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02022937} λ = -0.02022937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.823843556870285))-π/2
    2×atan(2.27924342525624)-π/2
    2×1.15734382859424-π/2
    2.31468765718847-1.57079632675     		φ = 0.74389133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02022937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.159058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74389133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.621834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65114 KachelY 48350 -0.02022937 0.74389133 -1.159058 42.621834
    Oben rechts KachelX + 1 65115 KachelY 48350 -0.02018143 0.74389133 -1.156311 42.621834
    Unten links KachelX 65114 KachelY + 1 48351 -0.02022937 0.74385606 -1.159058 42.619813
    Unten rechts KachelX + 1 65115 KachelY + 1 48351 -0.02018143 0.74385606 -1.156311 42.619813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74389133-0.74385606) × R
    3.52699999999206e-05 × 6371000     		dl = 224.705169999494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74389133-0.74385606) × R
    3.52699999999206e-05 × 6371000     		dr = 224.705169999494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02022937--0.02018143) × cos(0.74389133) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.735839097468162 × 6371000     		do = 224.744200865145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02022937--0.02018143) × cos(0.74385606) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.735862980317552 × 6371000     		du = 224.751495302093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74389133)-sin(0.74385606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735839097468162-0.735862980317552)×R²
    abs(-0.02018143--0.02022937)×2.38828493893672e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38828493893672e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38828493893672e-05×40589641000000     		ar = 50502.0034157485m²