Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65112 / 48346
↖ ↑ ↗
← N 42.629917°
W  1.164551°		 ← 224.72 m → N 42.629917°
W  1.161804°		 →
↑
224.71 m
↓
↑
224.71 m
↓
N 42.627897°
W  1.164551°		 ← 224.72 m →
50 495 m²		 N 42.627897°
W  1.161804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496768951416016 y=0.368854522705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496768951416016 × 217)
    floor (0.496768951416016 × 131072)
    floor (65112.5)     		tx = 65112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368854522705078 × 217)
    floor (0.368854522705078 × 131072)
    floor (48346.5)     		ty = 48346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65112 / 48346 ti = "17/65112/48346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65112/48346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65112 ÷ 217
    65112 ÷ 131072     		x = 0.49676513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48346 ÷ 217
    48346 ÷ 131072     		y = 0.368850708007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49676513671875 × 2 - 1) × π
    -0.0064697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02032525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368850708007812 × 2 - 1) × π
    0.262298583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.824035304468765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02032525} λ = -0.02032525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.824035304468765))-π/2
    2×atan(2.27968050661269)-π/2
    2×1.15741437170401-π/2
    2.31482874340803-1.57079632675     		φ = 0.74403242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02032525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.164551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74403242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.629917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65112 KachelY 48346 -0.02032525 0.74403242 -1.164551 42.629917
    Oben rechts KachelX + 1 65113 KachelY 48346 -0.02027731 0.74403242 -1.161804 42.629917
    Unten links KachelX 65112 KachelY + 1 48347 -0.02032525 0.74399715 -1.164551 42.627897
    Unten rechts KachelX + 1 65113 KachelY + 1 48347 -0.02027731 0.74399715 -1.161804 42.627897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74403242-0.74399715) × R
    3.52700000000317e-05 × 6371000     		dl = 224.705170000202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74403242-0.74399715) × R
    3.52700000000317e-05 × 6371000     		dr = 224.705170000202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02032525--0.02027731) × cos(0.74403242) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.73574355014466 × 6371000     		do = 224.715018253159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02032525--0.02027731) × cos(0.74399715) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.735767436655587 × 6371000     		du = 224.722313808435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74403242)-sin(0.74399715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73574355014466-0.735767436655587)×R²
    abs(-0.02027731--0.02032525)×2.38865109263298e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38865109263298e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38865109263298e-05×40589641000000     		ar = 50495.4460579219m²