Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65111 / 44758
↖ ↑ ↗
← N 49.457413°
W  1.167297°		 ← 198.49 m → N 49.457413°
W  1.164551°		 →
↑
198.52 m
↓
↑
198.52 m
↓
N 49.455628°
W  1.167297°		 ← 198.50 m →
39 405 m²		 N 49.455628°
W  1.164551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496761322021484 y=0.341480255126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496761322021484 × 217)
    floor (0.496761322021484 × 131072)
    floor (65111.5)     		tx = 65111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341480255126953 × 217)
    floor (0.341480255126953 × 131072)
    floor (44758.5)     		ty = 44758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65111 / 44758 ti = "17/65111/44758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65111/44758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65111 ÷ 217
    65111 ÷ 131072     		x = 0.496757507324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44758 ÷ 217
    44758 ÷ 131072     		y = 0.341476440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496757507324219 × 2 - 1) × π
    -0.0064849853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02037318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341476440429688 × 2 - 1) × π
    0.317047119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.996032900305527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02037318} λ = -0.02037318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.996032900305527))-π/2
    2×atan(2.70751949518708)-π/2
    2×1.21699551465121-π/2
    2.43399102930242-1.57079632675     		φ = 0.86319470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02037318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.167297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86319470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.457413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65111 KachelY 44758 -0.02037318 0.86319470 -1.167297 49.457413
    Oben rechts KachelX + 1 65112 KachelY 44758 -0.02032525 0.86319470 -1.164551 49.457413
    Unten links KachelX 65111 KachelY + 1 44759 -0.02037318 0.86316354 -1.167297 49.455628
    Unten rechts KachelX + 1 65112 KachelY + 1 44759 -0.02032525 0.86316354 -1.164551 49.455628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86319470-0.86316354) × R
    3.11600000000301e-05 × 6371000     		dl = 198.520360000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86319470-0.86316354) × R
    3.11600000000301e-05 × 6371000     		dr = 198.520360000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02037318--0.02032525) × cos(0.86319470) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.650013063225839 × 6371000     		do = 198.489308513167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02037318--0.02032525) × cos(0.86316354) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.650036742112012 × 6371000     		du = 198.496539145917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86319470)-sin(0.86316354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650013063225839-0.650036742112012)×R²
    abs(-0.02032525--0.02037318)×2.36788861726067e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.36788861726067e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.36788861726067e-05×40589641000000     		ar = 39404.8866992504m²