Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65110 / 44761
↖ ↑ ↗
← N 49.452057°
W  1.170044°		 ← 198.55 m → N 49.452057°
W  1.167297°		 →
↑
198.52 m
↓
↑
198.52 m
↓
N 49.450272°
W  1.170044°		 ← 198.56 m →
39 417 m²		 N 49.450272°
W  1.167297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496753692626953 y=0.341503143310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496753692626953 × 217)
    floor (0.496753692626953 × 131072)
    floor (65110.5)     		tx = 65110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341503143310547 × 217)
    floor (0.341503143310547 × 131072)
    floor (44761.5)     		ty = 44761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65110 / 44761 ti = "17/65110/44761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65110/44761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65110 ÷ 217
    65110 ÷ 131072     		x = 0.496749877929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44761 ÷ 217
    44761 ÷ 131072     		y = 0.341499328613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496749877929688 × 2 - 1) × π
    -0.006500244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02042112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341499328613281 × 2 - 1) × π
    0.317001342773438 × 3.1415926535     		Φ = 0.995889089606667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02042112} λ = -0.02042112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.995889089606667))-π/2
    2×atan(2.70713015291276)-π/2
    2×1.21694877268092-π/2
    2.43389754536184-1.57079632675     		φ = 0.86310122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02042112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.170044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86310122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.452057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65110 KachelY 44761 -0.02042112 0.86310122 -1.170044 49.452057
    Oben rechts KachelX + 1 65111 KachelY 44761 -0.02037318 0.86310122 -1.167297 49.452057
    Unten links KachelX 65110 KachelY + 1 44762 -0.02042112 0.86307006 -1.170044 49.450272
    Unten rechts KachelX + 1 65111 KachelY + 1 44762 -0.02037318 0.86307006 -1.167297 49.450272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86310122-0.86307006) × R
    3.11600000000301e-05 × 6371000     		dl = 198.520360000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86310122-0.86307006) × R
    3.11600000000301e-05 × 6371000     		dr = 198.520360000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02042112--0.02037318) × cos(0.86310122) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.650084097990883 × 6371000     		do = 198.552416691097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02042112--0.02037318) × cos(0.86307006) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.650107774983536 × 6371000     		du = 198.559648254099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86310122)-sin(0.86307006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650084097990883-0.650107774983536)×R²
    abs(-0.02037318--0.02042112)×2.36769926527103e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.36769926527103e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.36769926527103e-05×40589641000000     		ar = 39417.415050021m²